Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 2
a) Encontre derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter em função de .
c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para em sua solução para a parte (a).
Passo 1
Fala aí. Tudo belezinha com você?
Nessa questão é dada a equação
E é pedido para que a gente encontre . Ou seja, precisamos derivar essa expressão em relação a .
Ainda é pedido para que a gente faça isso de duas forma diferente.
No item (a) é pedido que se derive implicitamente encontrando em função de . Pra fazer isso a gente deriva dos dois lados e depois isola o que vai aparecer. Fazendo:
Já, no item (b) é pedido que se isole para obter como função de explicitamente e daí efetuar a derivadam encontrando apenas em função de .
Ou seja, fazermos algumas manobras algébricas.
E finalemente, no item (c) é pedido para se comparar as respostas dos outros dois itens e verificar se elas são consistentes.
Agora que já sabemos o que fazer, vem comigo ver como tudo vai ficar.
Passo 2
Neste passo vamos resolver o item (a). Vamos derivar a equação dada com relação a . É importante lembrar que não podemos tratar como uma constante: ele depede de e também deve ser derivado!!!
Derivando a equação com relação a
Lembrando que derivada de constante é igual a zero, e derivada de potência se dá pela regra do expoente, ficamos com:
Já para usaremos a regra da cadeia. Já que é uma função de . Assim, ficamos com:
Isolando , temos que
E essa foi nossa derivação implícita.
Passo 3
Neste passo vamos resolver parte do item (b). Vamos isolar em função de na equação
Tomando a raiz positiva
Para facilitar a derivação, vamos escrever
Passo 4
Neste item vamos terminar de resolver o item (b). Derivando a expressão encontrada no passo 3:
Aqui usaremos a regra da cadeia, fazendo a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro.
Assim:
Passo 5
Para encerrar, vamos fazer o item (c). Substituindo a expressão encontrada para no passo 3 na expressão encontrada no passo 2, temos que:
Assim, temos que
que de fato é a expressão encontrada no passo 4 (item (b)).
Resposta
a)
b) e