Encontre a derivada da função. Simplifique onde for possível.

g(x) = arccos(raiz(x))

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada da função

g ( x ) = arccos ⁡ x

Para isso, vamos utilizar o método da derivação implícita. E a ideia aqui será chamar g x de y e inverter a equação.

y = arccos ⁡ x

O inverso do arccos ⁡ será o próprio cos ⁡

Assim:

cos ⁡ y = x

Agora para derivação implícita, vamos derivar os dois lados da equação e depois isolar y ' . Isso vai facilitar muito a nossa vida.

Então esse é o plano. Vem comigo que te ajudo.

Passo 2

Darivando dos dois lados da nossa equação, teremos:

cos ⁡ y ' = x '

Para derivar o lado direito, podemos transformar x em x 1 2 . E sua derivada será calculada usando a regra do expoente. Que diz:

x n ' = n x n - 1

Assim:

x ' = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2

Organizando melhor, invertendo o termo com expoente negativo, ficamos com:

x ' = 1 2 x

Show.

Agora para o lado esquerdo temos:

cos ⁡ y '

Observe que essa é uma função composta, já que y é uma função de x . Sendo assim usaremos a regra da cadeia.

f g x ' = f ' x ⋅ g ' x

Ou seja, fazemos a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro. E lembrando que a derivada do cosseno é menos o seno.

Teremos:

cos ⁡ y ' = - sin ⁡ y ⋅ y '

Passo 3

Agora vamos igualar as duas derivadas que acabamos de calcular.

cos ⁡ y ' = x '

- sin ⁡ y ⋅ y ' = 1 2 x

E isolando y ' , teremos:

y ' = - 1 2 x ⋅   sin ⁡ y

E lembrando que

cos ⁡ y = x

Usando a relação trigonométrica

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Temos :

sin 2 ⁡ y + x 2 = 1

sin 2 ⁡ y + x = 1

sin 2 ⁡ y = 1 - x

E finalmente

sin ⁡ y = 1 - x

E substituinda em nossa derivada temos:

y ' = - 1 2 x ⋅   sin ⁡ y

y ' = - 1 2 x ⋅ 1 - x

E prontinho. Derivada calculda.

Resposta

g ' x = - 1 2 x 1 - x

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