Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 52
Encontre a derivada da função. Simplifique onde for possível.
Passo 1
Fala aí, pessoal.
Partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada da função
Para isso, vamos utilizar o método da derivação implícita. E a ideia aqui será chamar de e inverter a equação.
O inverso do será o próprio
Assim:
Agora para derivação implícita, vamos derivar os dois lados da equação e depois isolar . Isso vai facilitar muito a nossa vida.
Então esse é o plano. Vem comigo que te ajudo.
Passo 2
Darivando dos dois lados da nossa equação, teremos:
Para derivar o lado direito, podemos transformar em . E sua derivada será calculada usando a regra do expoente. Que diz:
Assim:
Organizando melhor, invertendo o termo com expoente negativo, ficamos com:
Show.
Agora para o lado esquerdo temos:
Observe que essa é uma função composta, já que é uma função de . Sendo assim usaremos a regra da cadeia.
Ou seja, fazemos a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro. E lembrando que a derivada do cosseno é menos o seno.
Teremos:
Passo 3
Agora vamos igualar as duas derivadas que acabamos de calcular.
E isolando , teremos:
E lembrando que
Usando a relação trigonométrica
Temos :
E finalmente
E substituinda em nossa derivada temos:
E prontinho. Derivada calculda.