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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 10

Encontre d y // d x derivando implicitamente.

y^5 + x^2 y^3 = 1 + y e^(x^2)

Passo 1

A questão dá uam equação que fornece y implicitamente como função de x . Devemos então derivá-la implicitamente para obter y ' .

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, (f (y))^' = f^' (y) * y ' .

Derivando a equação y^5 + x^2 y^3 = 1 + y e^(x^2) com relação a x , temos que

5 y^4 * y^' + 2 x * y^3 + x^2 * 3 y^2 * y^' = y^' * e^(x^2) + y * e^(x^2) * 2 x

Assim,

5 y^4 y^' + 2 x y^3 + 3 x^2 y^2 y^' = e^(x^2) y^' + 2 x e^(x^2) y

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y^' (5 y^4 + 3 x^2 y^2 - e^(x^2)) = 2 x e^(x^2) y - 2 x y^3

y^' = (2 x e^(x^2) y - 2 x y^3)/(5 y^4 + 3 x^2 y^2 - e^(x^2))

Resposta

R:

y^' = (2 x e^(x^2) y - 2 x y^3)/(5 y^4 + 3 x^2 y^2 - e^(x^2))

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