Encontre dy/dx derivando implicitamente.

x^4 (x + y) = y^2 (3x - y)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar implicitamente a função:

x 4   x + y = y 2   ( 3 x - y )

Assim, vamos derivar a equação dada com relação a x , lembrando que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, usamos a regra da cadeia para derivar na forma:

f y ' = f ' y ⋅ y '

E derivamos os termos com x normalmente, usando a regrinha da potência ( x n ' = n x n - 1 ).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a propriedade distributiva nos produtos da nossa equação:

x 4 x + y = y 2 3 x - y

x 5 + x 4 y = 3 x y 2 - y 3

Agora derivando essa equação, implicitamente, em relação a x , vamos ter:

5 x 4 + 4 x 3 ⋅ y + x 4 ⋅ y ' = 3 ⋅ y 2 + 3 x ⋅ 2 y ⋅ y ' - 3 y 2 ⋅ y '

Repare que aplicamos também a regra do produto na derivada dos termos. Assim, ficamos com:

5 x 4 + 4 x 3 y + x 4 y ' = 3 y 2 + 6 x y y ' - 3 y 2 y '

Passo 3

Então, isolando y ' , temos que:

y ' x 4 - 6 x y + 3 y 2 = 3 y 2 - 5 x 4 - 4 x 3 y

y ' = 3 y 2 - 5 x 4 - 4 x 3 y x 4 - 6 x y + 3 y 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 3 y 2 - 5 x 4 - 4 x 3 y x 4 - 6 x y + 3 y 2

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