Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 3
a) Encontre derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter em função de .
c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para em sua solução para a parte (a).
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a equação
E temos que, no item a), derivar implicitamente, no item b), isolar em um lado da equação e calcular a derivada explicitamente e no item c) comparar as soluções.
Parece complicado?
Este é uma questão importante pois compara dois métodos distintos de derivação: as derivadas implícita e explícita.
A derivada implicita de uma função é obtida a partir da regra da cadeia... o macete é que na hora de derivar um termo acrecesntamos um termo
E a derivada explicita é o que já estamos acostumados a calcular... isolamos em um lado da equação e derivamos normalmente.
Bora lá!
Passo 2
Primeiramente vamos reorganizar nossa equação
Vamos derivar essa equação implicitamente...
Aplicando a regra da cadeia na derivada de derivamos normalmente em relação a e acrescentamos um termo
Finalmente calculando as derivadas...
Isolando , temos que
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Neste passo vamos resolver parte do item (b). Vamos isolar em função de na equação fornecida:
Multiplicando em cruz:
Assim, temos que
Chegamos em uma fração então derivamos a expressão encontrada pela regra do quociente:
Ou seja
Show?
Passo 4
Para encerrar, vamos fazer o item (c).
Substituindo a expressão encontrada para no passo 3 na expressão encontrada no passo 2, temos que:
Assim, temos que
que de fato é a expressão encontrada no passo 3 (item (b)).
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
a)
b) e