Encontre dy/dx derivando implicitamente.

tg(x-y) = y / (1 + x^2)

Passo 1

O enunciado fornece uma equação que dá y em função de x de forma implícita. Como devemos achar y ' , é pedido que derivemos implicitamente a equação para assim encontra-lo!!!

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, f y ' = f ' y ⋅ y ' .

Derivando a equação t g   x - y = y   1 + x 2 - 1 com relação a x , temos que

sec 2 ⁡ x - y ⋅ x - y ' = y ' ⋅ 1 + x 2 - 1 + y ⋅ - 1 ⋅ 1 + x 2 - 2 ⋅ 2 x

Assim,

sec 2 ⁡ ( x - y )   1 - y ' = 1 + x 2 - 1 y ' - 2 x y 1 + x 2 - 2

*Lembrando que a derivada da tangente é secante ao quadrado!!!

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y '   1 + x 2 - 1 + sec 2 ⁡ x - y = sec 2 ⁡ x - y + 2 x y 1 + x 2 - 2

y ' = sec 2 ⁡ x - y + 2 x y 1 + x 2 - 2 1 + x 2 - 1 + sec 2 ⁡ x - y

Resposta

R: y ' = sec 2 ⁡ x - y + 2 x y 1 + x 2 - 2 1 + x 2 - 1 + sec 2 ⁡ x - y

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