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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 18

Encontre d y // d x derivando implicitamente.

t g (x - y) = (y)/(1 + x^2)

Passo 1

O enunciado fornece uma equação que dá y em função de x de forma implícita. Como devemos achar y ' , é pedido que derivemos implicitamente a equação para assim encontra-lo!!!

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, (f (y))^' = f^' (y) * y ' .

Derivando a equação t g (x - y) = y (1 + x^2)^(- 1) com relação a x , temos que

sec^2 (x - y) * (x - y)^' = y^' * (1 + x^2)^(- 1) + y * (- 1) * (1 + x^2)^(- 2) * 2 x

Assim,

sec^2 ( x - y ) (1 - y^') = (1 + x^2)^(- 1) y ' - 2 x y (1 + x^2)^(- 2)

*Lembrando que a derivada da tangente é secante ao quadrado!!!

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y^' [(1 + x^2)^(- 1) + sec^2 (x - y)] = sec^2 (x - y) + 2 x y (1 + x^2)^(- 2)

y^' = (sec^2 (x - y) + 2 x y (1 + x^2)^(- 2))/((1 + x^2)^(- 1) + sec^2 (x - y))

Resposta

R: y^' = (sec^2 (x - y) + 2 x y (1 + x^2)^(- 2))/((1 + x^2)^(- 1) + sec^2 (x - y))

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A função y = f x é dada implicitamente pela equação x y + 3 = 2 x . Mostre que x d y d x = 2 - y . Calcule d y d x x = 2 .
Ache (d y)/(d x) por derivação implícita
Ache (d y)/(d x) por derivação implícita
Ache d y d x por derivação implícita
Ache (d y)/(d x) por derivação implícita