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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 12

Encontre d y // d x por derivação implícita.

1 + x = s e n ( x y^2 )

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:

1 + x = s e n ( x y^2 )

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar (d y)/(d x) de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Assim:

(f (y))^' = f^' (y) * y '

Que nada mais é do que a aplicação da regra da cadeia.

Derivando a equação 1 + x = s e n ( x y^2 ) com relação a x , temos que

(d)/(d x) 1 + (d)/(d x) x = (d)/(d x) s e n ( x y^2 )

1 = cos (x y^2) * ( x y^2 ) '

Assim, pela regra da cadeia:

1 = cos (x y^2) (1 * y^2 + x * 2 y * y^')

Portanto,

1 = y^2 cos ( x y^2 ) + 2 x y cos ( x y^2 ) y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

2 x y cos ( x y^2 ) y^' = 1 - y^2 cos ( x y^2 )

y^' = (1 - y^2 cos ( x y^2 ))/(2 x y cos ( x y^2 ))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

R: y^' = (1 - y^2 cos ( x y^2 ))/(2 x y cos ( x y^2 ))

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