Encontre dy/dx por derivação implícita.

1 + x = sen(xy^2)

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:

1 + x = s e n ( x y 2 )

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar d y d x de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

d y d x = d y d u * d u d x

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!!

Assim:

f y ' = f ' y ⋅ y '

Que nada mais é do que a aplicação da regra da cadeia.

Derivando a equação 1 + x = s e n ( x y 2 ) com relação a x , temos que

d d x 1 + d d x x = d d x s e n ( x y 2 )

1 = cos ⁡ x y 2 ⋅ ( x y 2 ) '

Assim, pela regra da cadeia:

1 = cos ⁡ x y 2   1 ⋅ y 2 + x ⋅ 2 y ⋅ y '

Portanto,

1 = y 2 cos ⁡ ( x y 2 ) + 2 x y cos ⁡ ( x y 2 )   y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

2 x y cos ⁡ ( x y 2 )   y '   = 1 - y 2 cos ⁡ ( x y 2 )

y ' = 1 - y 2 cos ⁡ ( x y 2 ) 2 x y cos ⁡ ( x y 2 )

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

R: y ' = 1 - y 2 cos ⁡ ( x y 2 ) 2 x y cos ⁡ ( x y 2 )

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