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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.6 - Ex. 27

Encontre o limite ou demonstre que não existe.

underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em utilizar as propriedades e técnicas utilizadas para resolver limites para encontrar um valor para o limite da questão.

Passo 2

Para resolver esse limite, iremos multiplicar e dividir a função por sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x)

underset(x -> oo)(lim) ((sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)) ( sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x) ))/(sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x))

Dessa forma, temos uma diferença de quadrados no numerador e podemos reescrever o limite da seguinte maneira

underset(x -> oo)(lim) ((sqrt(x^2 + a x))^2 - (sqrt(x^2 + b x))^2)/(sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x))

= underset(x -> oo)(lim) (x^2 + a x - x^2 - b x)/(sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x))

= underset(x -> oo)(lim) (a x - b x)/(sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x))

Passo 3

Iremos agora multiplicar o numerador e o denominador por (1)/(x) , ficando com

underset(x -> oo)(lim) (((a x - b x))/(x))/(((sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x)))/(sqrt(x^2)))

= underset(x -> oo)(lim) (a - b)/(sqrt(1 + (a)/(x)) + sqrt(1 + (b)/(x)))

Substituindo o valor do limite, temos

(a - b)/(1 + 1) = (a - b)/(2)

Resposta

underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x) = (a - b)/(2)

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Calcule.underset(x - 0^+)(lim) (sen x)/(x^3 - x^2)
Seja f x = a x 3 + b x 2 + c x + d , onde a0 , b , c , d são reais dados. Prove que existem número reais x 1 e x 2 tais que f x 10 e f x 20 .
9-Sejam f e g duas funções definidas em ] a ,+ ∞ [ tais que lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ e g x0 para todo xa . Prove que existem r0 tal que para todo xr ,f xg x .
Dê exemplo de funções f e g tais que lim x → p + ⁡ f x = L , L ≠ 0 , lim x → p + ⁡ g x = 0 mas lim x → p + ⁡ f x g x não existe.
Dê exemplo de funções f e g tais que underset(x - + oo)(lim) f (x) = + oo , underset(x - + oo)(lim) g (x) = + oo e underset(x - + oo)(lim) [f (x) - g (x)] != 0 .