Encontre o limite ou demonstre que não existe.

underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em utilizar as propriedades e técnicas utilizadas para resolver limites para encontrar um valor para o limite da questão.

Passo 2

Para resolver esse limite, iremos multiplicar e dividir a função por sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x)

underset(x -> oo)(lim) ((sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x)) ( sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x) ))/(sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x))

Dessa forma, temos uma diferença de quadrados no numerador e podemos reescrever o limite da seguinte maneira

underset(x -> oo)(lim) ((sqrt(x^2 + a x))^2 - (sqrt(x^2 + b x))^2)/(sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x))

= underset(x -> oo)(lim) (x^2 + a x - x^2 - b x)/(sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x))

= underset(x -> oo)(lim) (a x - b x)/(sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x))

Passo 3

Iremos agora multiplicar o numerador e o denominador por (1)/(x) , ficando com

underset(x -> oo)(lim) (((a x - b x))/(x))/(((sqrt(x^2 + a x) + sqrt(x^2 + b x)))/(sqrt(x^2)))

= underset(x -> oo)(lim) (a - b)/(sqrt(1 + (a)/(x)) + sqrt(1 + (b)/(x)))

Substituindo o valor do limite, temos

(a - b)/(1 + 1) = (a - b)/(2)

Resposta

underset(x -> oo)(lim) sqrt(x^2 + a x) - sqrt(x^2 + b x) = (a - b)/(2)

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