Encontre dy/dx por derivação implícita.

4 * cos(x) * sen(y) = 1

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos derivar implicitamente a seguinte expressão:

4 cos ⁡ x   s e n   y = 1

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar d y d x de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

d 4 cos ⁡ x   s e n   y d x = d 1 d x

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

d y d x = d y d u d u d x

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x .

d 4 cos ⁡ x   s e n   y d x = d 1 d x

A derivada de 1 sabemos que é 0 .

Na derivada de 4 cos ⁡ x   s e n   y temos que primeiro aplicar a regra do produto...

d 4 cos ⁡ x   s e n   y d x = 4 d cos ⁡ x d x · sin ⁡ y + cos ⁡ x · d sin ⁡ y d x

Já na derivada de sin ⁡ y temos que aplicar a regra da cadeia pois y é uma função e não uma variável.

d 4 cos ⁡ x   s e n   y d x = 4 d cos ⁡ x d x · sin ⁡ y + cos ⁡ x · y ' d sin ⁡ y d y

d 4 cos ⁡ x   s e n   y d x = 4 - sin ⁡ x · sin ⁡ y + cos ⁡ x · y ' cos ⁡ y

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Substituindo de volta na equação:

d 4 cos ⁡ x   s e n   y d x = d 1 d x

4 - sin ⁡ x · sin ⁡ y + cos ⁡ x · y ' cos ⁡ y = 0

Simplificando 4 e isolando y ' em um lado...

cos ⁡ x y ' cos ⁡ y = sin ⁡ x sin ⁡ y

y ' = sin ⁡ x sin ⁡ y cos ⁡ x cos ⁡ y

Podemos reescrever y ' como:

y ' = sin ⁡ x cos ⁡ x · sin ⁡ y cos ⁡ y

Pelas identidades trigonométricas temos que:

tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Ou seja:

y ' = tan ⁡ x tan ⁡ y

Entendeu direitinho?? Responde Aí! 😉

Resposta

y ' = tan ⁡ x tan ⁡ y

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