Enunciado

Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta derivando.)

f x = x + 1 2 x - 1

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x + 1 2 x - 1

E nosso objetivo é encontrar sua função primitiva.

Perece complicado?

A primitiva de uma função f x , é uma função que quando derivada resulta em f x .

Para nossa sorte, existe umas regrinhas que podemos aplicar em f x para encontrar sua primitiva.

Observando f x podemos perceber que se trata de uma função polinomial (implicitamente)... nesses casos, podemos usar a regra

a x n → a x n + 1 n + 1

Para n ≠ - 1 .

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Para começar, vamos transformar nossa função em uma função polinomial desenvolvendo esse produto:

f x = x + 1 2 x - 1 = 2 x 2 - x + 2 x - 1

f x = 2 x 2 + x - 1

Aplicando a regrinha do passo 1 para cada termo separadamente, temos que para 2 x 2 ...

2 x 2 → 2 x 2 + 1 2 + 1 = 2 3 x 3

Para x

x → x 1 + 1 1 + 1 = x 2 2

E para 1

1 → 1 x 0 + 1 0 + 1 = x

Juntando tudo isso, temos

F x = 2 3 x 3 + 1 2 x 2 - x + C

Não podemos esquecer de sempre acrescentar uma constante C sempre que fazemos esse cálculo.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

E por fim derivamos F pra confirmar se F ' = f

Pela regra da potência...

F ' x = 2 3 3 x 3 - 1 + 1 2 2 x 2 - 1 - 1 x 1 - 1 + C 0

F ' x = 2 x 2 + x - 1

Certinhooo! Então F ( x ) é a primitiva de f ( x ) .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

F x = 2 3 x 3 + 1 2 x 2 - x + C

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