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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 22

Nos Exercícios 21-26, use derivação implícita para determinar d y d x e depois d ² y d x ² .

22. x 2 3 + y 2 3 = 1

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Aplicando o passo 1, teremos:

2 3 . x - 1 3 + 2 3 . y - 1 3 . d y d x = 0

Aplicando o passo 2 agora, ou seja, isolando a derivada, teremos:

2 3 . y - 1 3 . d y d x = - 2 3 . x - 1 3

d y d x = - x - 1 3 y - 1 3

∴ d y d x = - y 3 x 3

Passo 3

Então galera, como a questão pede a derivada segunda, então vamos derivar esse trem de novo! No entanto, para derivarmos a nova função, deveremos utilizar a regra do quociente, que nos diz o seguinte:

f g ' = f ' . g - f . g ' g ²

d ² y d x ² = y 3 x 3 ' = 1 3 . y - 2 3 . d y d x . x 3 - y 3 . 1 3 . x - 2 3 x 2 3

Mas quem é d y d x ? Já descobrimos no passo 2, certo? Então substituindo, teremos:

d ² y d x ² = - 1 3 . y - 2 3 . - y 3 x 3 . x 3 - y 3 . 1 3 . x - 2 3 x 2 3

d ² y d x ² = - - y - 2 3 . y 3 - y 3 . x - 2 3 3 x 2 3

Fazendo as devidas simplificações, ou seja, utilizando as propriedades de potenciação e radiciação, teremos:

d ² y d x ² = 1 3 . y - 1 3 x 2 3 + 1 3 . y 1 3 . x - 4 3

Resposta

d ² y d x ² = 1 3 . y - 1 3 x 2 3 + 1 3 . y 1 3 . x - 4 3

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Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoa) x 2 - y 2 = 4