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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 26

Nos Exercícios 21-26, use derivação implícita para determinar d y d x e depois d ² y d x ² .

26. x y + y 2 = 1

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Aplicando o passo 1 que citamos anteriormente, teremos:

1 . y + x . d y d x + 2 y . d y d x = 0

Perceba que tivemos que utilizar a regra do produto para derivar aquela multiplicação entre duas funções. Aplicando agora o passo 2, teremos:

x . d y d x + 2 y . d y d x = - y

d y d x x + 2 y = - y

∴ d y d x = - y x + 2 y

Passo 3

Agora que derivamos a primeira vez, para encontrarmos a derivada de segunda ordem basta derivarmos novamente. No entanto, para derivarmos a nossa função, devemos utilizar a regra do quociente, beleza? Essa regra nos diz o seguinte:

f g ' = f ' . g - f . g ' g ²

d ² y d x ² = - d y d x . x + 2 y - y . 1 + 2 . d y d x       ( x + 2 y ) ²

Mas como já calculamos a derivada primeira, substituindo, teremos:

d ² y d x ² = - - y x + 2 y . x + 2 y - y . 1 + 2 . - y x + 2 y       ( x + 2 y ) ²

d ² y d x ² = - - y x + 2 y . x + 2 y - y . x + 2 y 2 - 2 y 2 ( x + 2 y ) ( x + 2 y ) ²

d ² y d x ² = - - y . x - 2 y 2 - y . x - 2 y 2 + 2 y ² ( x + 2 y ) ³

d ² y d x ² = - - 2 x y - 2 y ² ( x + 2 y ) ³

∴ d ² y d x ² = 2 x y + 2 y ² ( x + 2 y ) ³

Resposta

d ² y d x ² = 2 x y + 2 y ² ( x + 2 y ) ³

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