Enunciado

Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

g t = t 2 - 1 t + 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá a seguinte função:

g t = t 2 - 1 t + 1

Queremos encontrar o domínio e o esboço do gráfico dessa função.

Para isso, temos que entender alguns conceitos:

  • O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função é definida;
  • A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída que a função pode produzir quando aplicada aos elementos do domínio.

Assim, para resolver essa questão, a primeira coisa que devemos encontrar é o domínio da função!! Ou seja, quais os valores possíveis de t , que a nossa função é definida.

De forma mais simples, para encontrar o domínio, podemos ver se existe algum valor de x para qual a função dá problema.

Dar problema pode ser por exemplo um denominador ser zero, uma raiz quadrada ser negativa, etc...

No caso da função mostrada, a única restrição é o denominador não ser zero.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Portanto, como não queremos dividir por zero, temos queÇ

t + 1 ≠ 0

Logo,

t ≠ - 1

Assim o domínio D são todos os números reais com t ≠ - 1 , ou seja:

D = t ∈ R t ≠ - 1

Passo 3

Beleza, agora podemos modificar esta função para ficar mais fácil esboçar o gráfico. Veja o numerador da função:

t 2 - 1 = t + 1 t - 1

Logo:

g t = t 2 - 1 t + 1 ∴

g t = t + 1 t - 1 t + 1

Aqui podemos cortar t + 1 com t + 1 , mas essa divisão só é possível, pois estamos considerando que t não pode ser - 1 , se não a gente poderia ter uma divisão por 0 .

g t = t - 1 ,     t ≠ - 1

Por ser uma equação do primeiro grau, temos uma reta.

Assim, bastam 2 pontos para definir como será o gráfico.

Vamos então aos pontos quando t   =   0

y = 0 - 1 = - 1

, e quando y   =   0 :

0 = t - 1

t = 1

Mas temos que tomar um cuidado aqui!! A nossas função não é definida para t = - 1 , logo, temos que tirar esse ponto do nosso gráfico.

Resposta

D = t ∈ R t ≠ - 1

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