Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 7
Obtenha gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular você deve usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Fala aí! como vai?
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é plotar os gráficos de e para estimar os intervalos de inclinação, concavidades, os pontos extremos e os pontos de inflexão dentro do intervalo ...
Parece complicado?
A partir do gráfico de podemos estimar os intervalos de inclinação de pois essas duas coisas estão diretamente ligadas, ou seja:
- Quando a inclinação de é positiva (crescente).
- Quando a inclinação de é negativa (decrescente).
- Quando a função possui uma concavidade positiva (para cima).
- Quando a concavidade de é negativa (para baixo).
- Se o ponto é de máximo.
- Se o ponto é de mínimo.
Além disso, a partir de podemos obter os pontos críticos, que são os possíveis valores extremos de . Para obter os pontos críticos, temos que analisar os pontos onde e para saber se esse ponto é um máximo ou um mínimo, temos que analisar .
Por sua vez, está diretamente ligada à concavidade de , então:
E por último, vamos analisar os pontos críticos encontrados em ...
Já os pontos de inflexão acontecem quando .
Show? Bora começar!
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de ...
Pelo teorema fundamental do cálculo, temos
Plotando o gráfico de dentro do intervalo especificado, temos
Pelo que discutimos no passo 1, podemos estimar que é crescente em:
Pois e é decrescente em:
Pois .
Além disso, temos três pontos críticos em , que é justamente em , e pois nesses pontos.
Show?
Passo 3
Agora vamos repetir o processo para ...
Plotando o gráfico de , vamos obter
Perceba que aqui podemos estimar que nos intervalos:
A função possui concavidade voltada para cima pois nesses trechos... já quando:
A função possui concavidade voltada para baixo pois ...
Analisando os pontos críticos que encontramos no passo anterior, temos que em , , logo é um ponto de máximo em .
Já em e em , temos que , então esses pontos são de mínimos em .
E por último, temos dois pontos de inflexão em e em , que é onde .
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Para confirmar essas estimativas, vamos plotar o gráfico de ...
Aqui podemos confirmar os intervalos de inclinação, concavidades, o ponto máximo em e o ponto de inflexão que vimos nos passos 2 e 3.
E fim! O que achou? Responde Aí!
Resposta
