Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 44
De acordo com a Lei de Newton da Gravitação Universal, a força gravitacional de um objeto de massa que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é
onde é a distância do objeto acima da superfície no tempo ; , o raio da Terra, e , a aceleração da gravidade.
Também, pela segunda lei de Newton, e dessa forma
a) Suponha que um foguete seja lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial . Seja a altura máxima acima da superfície alcançada pelo objeto. Mostre que
b) Calcule . Esse limite é chamado velocidade de escapa da Terra.
c) Use e para calcular em pés por segunda e em milhas por segundo.
Passo 1
O problema fala de um corpo sobre ação da força gravitacional e fornece a equação diferencial do movimento
Devemos resolver essa equação! Para isso, o enunciado da uma dica:
Assim,
Essa é uma equação separável do tipo:
Passo 2
Integrando dos dois lados:
Assim,
Sabemos que para (altura máxima), , de modo que
Assim,
Queremos saber que ocorre quando . Assim,
Logo,
Portanto,
Passo 3
Tomando o limite quando :
Assim,
Logo,
Passo 4
O item (c) pede para calcular a velocidade de escape usando as unidades americanas, mas como estamos no Brasil, vamos usar as unidades que o mundo inteiro usa né?
Vamos usar e :
Note que é uma velocidade bem grande 😊