Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 32
31-48. Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
32. Parábola, foco , diretriz
Passo 1
Então pessoal, uma equação de parábola em seu formato geral, de acordo com a seção 10.5 do James, é dada da seguinte maneira:
No qual seu foco é dado em e sua diretriz é dada em . Um outro formato é obtido se fizermos a inversa dessa função, ou seja, refleti-la em torno da reta . Se fizermos isso, o formato geral da equação de parábola ficará:
No qual seu foco é dado em e sua diretriz é dada em . No entanto, aqui aparece um certo probleminha! O foco de uma parábola não pode ser igual ao seu vértice, gente. Para o foco ser na origem, então a parábola obrigatoriamente tem que estar deslocada para algum lugar! Para esse tipo de situação as equações acima não são válidas, pois elas consideram que a parábola tem vértice na origem, isto é, em . Para esse tipo de caso, temos as seguintes equaçãos:
Ou:
No qual e se referem ao ponto no qual o vértice se encontra. Sendo assim, temos que descobrir o vértice da nossa parábola!
Passo 2
A questão nos diz que a parábola tem diretriz em . Opa, aqui tem algo interessante! No passo 1 foi dito que se a parábola tem diretriz em , então o formato da mesma será:
Ou, no nosso caso:
Para uma parábola deslocada, temos que a diretriz é dada pela seguinte relação:
E o foco é dado pela seguinte relação:
Como , então teremos:
E como o foco da nossa parábola está em , então:
Então nosso vértice está em .
Passo 3
Ufa, agora sim temos tudo que precisamos! Aliás, só para finalizar, como e , então . Substituindo na expressão da nossa parábola, teremos: