Enunciado

Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico:

x 2 2 + y 2 4 = 1

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos deu a seguinte equação que descreve uma elipse:

x 2 2 + y 2 4 = 1

Queremos calcular os vértices e os focos dessa elipse. Mas o que são eles?

Para responder isso, vamos analisar a figura abaixo de uma elipse:

  • O é o centro da elipse;
  • F 1 e F 2 são seus focos;
  • A 1 e A 2 são as extremidades do eixo horizontal (vértices);
  • B 1 e B 2 são as extremidades do eixo vertical (vértices);
  • 2 b é a distância entre B 1 e B 2 ;
  • 2 c é a distância entre F 1 e F 2 ;
  • 2 a é a distância entre A 1 e A 2 .

Também sabemos que a elipse tem a seguinte equação:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Onde a e b são constantes e mostradas na figura anterior.

Aplicando essa equação e analisando a nossa definição da elipse, a gente encontra os vértices e os focos. Agora bora lá!! 😉

Ah... lembre-se que os vértices estão sempre em cima de um dos eixos de coordenadas, viu?

Passo 2

Calculamos então o valor de a e b da nossa equação comparando com a fórmula mostrada no passo 1.

Assim, podemos inferir que:

a 2 = 2 ∴

a = ± 2

E

b 2 = 4 ∴

b = ± 4 ∴

b = ± 2

Com isso, percebemos que os vértices da horizontal são:

2 , 0 e - 2 , 0

E os vértices da vertical:

0 ,   2 e 0 ,   - 2

Logo, percebemos que trata-se de uma elipse com eixo maior na vertical.

Passo 3

Podemos então calcular o valor do foco:

c = ± b 2 - a 2 ∴

c = ± 4 - 2 ∴

c = ± 2

Assim, como a elipse tem lado maior na vertical, os focos são:

0 ,   ± c = ( 0 , ± 2 )

Passo 4

Com esses dados, podemos plotar a nossa elipse:

Perceba que os vértices estão exatamente como calculamos 😉

Resposta

Vértices:

2 , 0 e - 2 , 0

0 ,   2 e 0 ,   - 2

Focos:

0 ,   2 e 0 ,   - 2

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