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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 10

Encontre uma equação para o plano através da origem de modo que a circulação do campo de escoamento F = z i + x j + y k   ao redor da circunferência de interseção do plano com a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4   seja um máximo.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Nessa questão um plano através da origem tem equação a x + b y + c z = 0 , considerando primeiro o caso quando c ≠ 0 , assuma que o plano by é dado por z = a x + b y com f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 = 4

Deixando com que C denote o circulo de intersecção do plano com a esfera que através do teorema de stokes vai ser,

∮ C F . d r = ∫ ∫ S ∇   x   F . n   d σ

Onde n é unidade normal do plano

r x , y = x i + y j + a x + b y k

Passo 2

Parametrizando a superfície

r x   x   r y = i j k 1 0 a 0 1 b =   - a i - b j + k

Com isso, d σ = r x   x   r y d x d y = a 2 + b 2 + 1 d x d y

∇ x F =     i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z z x y = i + j + k   , sendo n = a i + b j - k a 2 + b 2 + 1

∫ ∫ S ∇   x   F . n d σ = ∫ R x y ∫ a + b - 1 a 2 + b 2 + 1   a 2 + b 2 + 1 d x d y

∫ R x y ∫ a + b - 1 d x d y = a + b - 1 ∫ R x y ∫ d x d y

Com isso,

x 2 + y 2 + a x + b y 2 = 4

a 2 + 1 4 x 2 + b 2 + 1 4 y 2 + a b 2 x y = 1

A região R x y é a parte inferior da elipse

A x 2 + B x y + C y 2 = 1   no plano xy , vai ficar

A = a 2 + 1 4 ,               B = a b 2 ,           C = b 2 + 1 4

A área da elipse vai ser,

2 π 4 A C - B 2 = 4 π a 2 + b 2 + 1 →   ∮ C F . d r

h a , b = 4 π ( a + b - 1 ) a 2 + b 2 + 1

Passo 3

Otimizando vamos ter que,

H a , b = a + b - 1 2 a 2 + b 2 + 1

∂ H ∂ a = 2 ( a + b - 1 ) ( b 2 + 1 + a - a b ) a 2 + b 2 + 1 2 = 0

∂ H ∂ a = 2 ( a + b - 1 ) ( a 2 + 1 + b - a b ) a 2 + b 2 + 1 2 = 0

Ficando,

a + b - 1 = 0   o u   b 2 + 1 + a - a b = 0

a 2 + 1 + b - a b = 0 → a + b - 1 = 0       o u     a 2 - b 2 + b - a = 0

a + b - 1 = 0         o u         a - b a + b - 1 = 0

a + b - 1 = 0           o u             a = b

O valor crítico vai ficar,

a + b - 1 = 0

Sendo, a = b ,

b 2 + 1 + a - a b → a 2 + 1 + a - a 2 = 0

a = - 1

b = - 1

Portanto o ponto vai ser : a , b = ( - 1 , - 1 )

Através disso o extremo local vai ser

∮ C F . d r → z = - x - y → x + y + z = 0 , e o plano desejado se c ≠ 0

Resposta

∮ C F . d r → z = - x - y → x + y + z = 0 , e o plano desejado se c ≠ 0

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