Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios Adicionais e Avançados - Ex. 09

Dentre todas as regiões retangulares 0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ b , encontre aquela para a qual o fluxo exterior total de F = x 2 + 4 x y i - 6 y j atraves dos quatro lados é minimo. Qual é o fluxo minimo?

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Sendo, M = x 2 + 4 x y     e     N = - 6 y

∂ M ∂ x = 2 x + 4 y       e   ∂ N ∂ y = - 6

Com isso o fluxo vai ficar,

∫ 0 b ∫ 0 a 2 x + 4 y - 6 d x d y = ∫ 0 b a 2 + 4 a y - 6 a d y = a 2 b + 2 a b 2 - 6 a b

Agora iremos ter que minimizar a função que vai ficar,

F a , b = a 2 b + 2 a b 2 - 6 a b = a b ( a + 2 b - 6 )

Com isso,

F a a , b = 2 a b + 2 b 2 - 6 b = 0

F b a , b = a 2 + 4 a b - 6 a = 0

b 2 a + 2 b - 6 = 0

Ficando assim, b = 0     o u   b = - a + 3

Passo 2

Agora tendo o valor de b vamso ter que achar o valor de a que vai ficar assim,

b = 0 → a 2 - 6 a = 0 , a = 0     o u     a = 6 → 0,0   e   6,0 que são pontos críticos.

Por outro lado com,

b = - a + 3 → a 2 + 4 a - a + 3 - 6 a = 0 →   - 3 a 2 + 6 a = 0

a = 0     o u     a = 2 → 0,3   e   2,1   os pontos críticos

Com isso,

F 0,0 = 0

F 6,0 = 0

F 0,3 = 0

F 2,1 = - 4

Então com isso vamos ter como fluxo minimo:

F 2,1 = - 4

Resposta

fluxo minimo: F 2,1 = - 4

Exercícios de Livros Relacionados

2. Prove que F → . n → for constante sobre Im γ, então o fluxo deF → . n → através de γ é o produto de F → . n → pelo comprimento de γ, onde n → é normal a γ
Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário ) F → x , y = xi →+ yj →, γ t = t ,t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 n → a normal com componente y0
Encontre a área de um dos lados da “parede curva” de pé ortogonalmente sobre a curva y = x2, 0 ≤ x ≤ 2, e abaixo da curvana superfície ƒ(x, y) = x + 2y.
O que são escoamento, circulação e fluxo?
Integre f (x , y , z) = sqrt(x^2 + y^2) sobre a curva involuta r (t) = (cos t + t sen t) i + (sen t - t cos t) j , 0 = t = sqrt(3)