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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 36

Centro de massa de um fio com densidade variável Encontre o centro de massa de um fio fino que se encontra ao longo

da curva r(t) = ti + 2tj + (2/3)t3/2k, 0 ≤ t ≤ 2, se a densidade for

d = 315 + t.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para encontrar a solução dessa questão utilizaremos as integrais de linha apresentadas na teoria do livro, na página 365 , tabela 16.1 .

Passo 2

Para encontrarmos o centro de massa de um fio estendido sobre a curva r → ( t ) = t i → + 2 j → + 2 3 t 3 / 2 k → , com 0 ≤ t ≤ 2 , cuja densidade é dada por δ = 3 5 + t precisamos encontrar as coordenadas do centro de massa do fio.Dessa forma, nosso primeiro passo será encontrar o módulo do vetor posição d r ‾ d t :O vetor posição é apresentado no enunciado como segue: r → ( t ) = t i → + 2 j → + 2 3 t 3 / 2 k → Vamos calcular a sua derivada: d r → d t = i → + 2 j → + t 1 / 2 k →

Passo 3

Calculemos agora o módulo de d r → d t : d r → d t = 1 2 + 2 2 + t 1 / 2 2 = 1 + 4 + t = 5 + t Antes de calcularmos as coordenadas do centro de massa precisamos encontrar a massa do fio.O cálculo de M é dado através da integral M = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d r ‾ d t d t substituindo os valores de δ = 3 5 + t e d r → d t = 5 + t

M = ∫ 0 2   ( 3 5 + t ( 5 + t ) ) d t = ∫ 0 2   3 ( 5 + t ) d t = 15 t + 3 2 t 2 0 2 = 30 + 3 2 4 = 36

Passo 4

Para encontrarmos as coordenadas do centro de massa precisamos ainda encontrar os primeiros momentos em relação aos eixos de coordenadas.

M y z = ∫ C     x δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 2     t [ 3 ( 5 + t ) ] d t = ∫ 0 2     15 t + 3 t 2 d t = 15 t 2 2 + t 3 0 2 = 38 M x y = ∫ C     z δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 2     2 3 t 3 / 2 [ 3 ( 5 + t ) ] d t = ∫ 3 10 t 3 / 2 + 2 t 5 / 2 10 t 3 / 2 + 2 t 5 / 2 d t = 4 t 5 / 2 + 4 7 t 7 / 2 0 2 = 4 ( 2 ) 5 / 2 + 4 7 ( 2 ) 7 / 2 =   = 16 2 + 37 3 2 = 144 7 2 M x z = ∫ C     y δ d r ‾ d t d t = ∫ 0 2     2 t [ 3 ( 5 + t ) ] d t = 2 ∫ 0 2     15 t + 3 t 2 d t = 76 x ‾ = M y z M = 38 36 = 19 18 y ‾ = M x z M = - 48 80 = - 3 5

Assim, chegamos ao resultado final:

z ‾ = M x y M = 144 2 252 = 4 2 7

Resposta

Resposta nos passos.

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