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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 33

Massa de um fio Encontre a massa de um fio que se encontra ao longo da curva r(t) = (t2 – 1)j + 2tk, 0 ≤ t ≤ 1, se a

densidade for d = (3/2)t

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a massa de um fio estendido sobre a curva r → ( t ) = t 2 - 1 j + 2 t k → , com 0 ≤ t ≤ 1 , de densidade dada por δ = 3 2 t utilizaremos a integral de linha apresentada na teoria do livro, na página 365 :

M = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d s = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d r → d t d t

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar o módulo do vetor posição d r ‾ d t :vetor posição é apresentado no enunciado como segue: r → ( t ) = t 2 - 1 j + 2 t k → Vamos calcular a sua derivada: d r → d t = 2 j → + 2 k → Calculemos agora o módulo de d r → d t : d r → d t = ( 2 t ) 2 + 2 2 = 2 t 2 + 1

Passo 3

Podemos agora retornar ao cálculo de M através da integral M = ∫ a b   δ ( x , y , z ) d r ‾ d t d t substituindo os valores de δ = 3 2 t e d r ‾ d t = ( 2 t ) 2 + 2 2 = 2 t 2 + 1 .Com isso teremos o resultado da questão conforme abaixo:

M = ∫ 0 1   3 2 t 2 t 2 + 1 d t = t 2 + 1 3 / 2 0 1 = 2 3 / 2 - 1 = 2 2 - 1

Passo 4

Obs.: A integral ∫ 0 1   3 2 t 2 t 2 + 1 d t foi resolvida por substituição, como segue:

u = t 2 + 1 d u = 2 t d t   ∫ 0 1     3 2 t 2 t 2 + 1 d t = ∫ 1 2     3 2 u 1 / 2 d u = 3 2 2 3 u 3 / 2 1 2 = u 3 / 2 1 2

Resposta

Resposta nos passos.

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