f(x, y) = x^2 - y, C: x^2 + y^2 = 4 no primeiro quadrante entre (0,2) e (raiz(2), raiz(2))

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y ) = x^2 - y ao longo da curva C , dada por x^2 + y^2 = 4 no primeiro quadrante entre os pontos ( 0,2 ) e ( sqrt(2) , sqrt(2) ) , devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363 , a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C é calculada por int_C f ( x , y ) |(d overset(‾)(r))/(d t)| d t , onde f ( x , y ) é uma função contínua em C e |(d overset(‾)(r))/(d t)| a velocidade instantânea sobre o caminho.

Passo 2

Para começar, você deve encontrar o vetor posição vec r que é dado por vec r = x vec i + y vec j .Em coordenadas polares, podemos escrever x = 2 s e n t e y = 2 c o s t .Temos, então, que o vetor posição é: vec r ( t ) = ( 2 s e n t ) vec i + ( 2 c o s t ) vec j , c o m 0 <= t <= pi // 4 .Assim, temos que (d vec r)/(d t) = ( 2 c o s t ) vec i - ( 2 s e n t ) vec j e |(d vec r)/(d t)| = sqrt(( 2 c o s t )^2 + ( - 2 s e n t )^2) = 2 A função f ( 2 s e n t , 2 c o s t ) = ( 2 s e n t )^2 - 2 c o s t .

Passo 3

Podemos agora voltar a forma da integral dada por int_C f ( x , y ) |(d vec r)/(d t)| d t . Fazendo as substituições de f ( x , y ) e |(d overset(‾)(r))/(d t)| calculados anteriormente, teremos então o resultado da questão:

int_0^(pi // 4) (4 s e n^2 t - 2 c o s t) 2 d t = int_0^(pi // 4) 8 s e n^2 t d t - int_0^(pi // 4) 4 c o s t d t = [ 4 t - 2 s e n 2 t - 4 s e n t ]_0^(pi // 4) = pi - 2 ( 1 + sqrt(2) )

Passo 4

Obs.: Devemos lembrar que, pela identidade trigonométrica, que pode ser encontrado no livro após a página 540 , s e n^2 t = (1 - c o s 2 t)/(2) . Dessa forma a integral de int s e n^2 t d t = int (1 - c o s 2 t)/(2)

Resposta

int_0^(pi // 4) (4 s e n^2 t - 2 c o s t) 2 d t = pi - 2 ( 1 + sqrt(2) )

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