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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.1 - Ex. 30

f ( x , y ) = x^2 - y , C : x^2 + y^2 = 4 no primeiro quadrante entre ( 0,2 ) e ( sqrt(2) , sqrt(2) )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y ) = x^2 - y ao longo da curva C , dada por x^2 + y^2 = 4 no primeiro quadrante entre os pontos ( 0,2 ) e ( sqrt(2) , sqrt(2) ) , devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363 , a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C é calculada por int_C f ( x , y ) |(d overset(‾)(r))/(d t)| d t , onde f ( x , y ) é uma função contínua em C e |(d overset(‾)(r))/(d t)| a velocidade instantânea sobre o caminho.

Passo 2

Para começar, você deve encontrar o vetor posição vec r que é dado por vec r = x vec i + y vec j .Em coordenadas polares, podemos escrever x = 2 s e n t e y = 2 c o s t .Temos, então, que o vetor posição é: vec r ( t ) = ( 2 s e n t ) vec i + ( 2 c o s t ) vec j , c o m 0 <= t <= pi // 4 .Assim, temos que (d vec r)/(d t) = ( 2 c o s t ) vec i - ( 2 s e n t ) vec j e |(d vec r)/(d t)| = sqrt(( 2 c o s t )^2 + ( - 2 s e n t )^2) = 2 A função f ( 2 s e n t , 2 c o s t ) = ( 2 s e n t )^2 - 2 c o s t .

Passo 3

Podemos agora voltar a forma da integral dada por int_C f ( x , y ) |(d vec r)/(d t)| d t . Fazendo as substituições de f ( x , y ) e |(d overset(‾)(r))/(d t)| calculados anteriormente, teremos então o resultado da questão:

int_0^(pi // 4) (4 s e n^2 t - 2 c o s t) 2 d t = int_0^(pi // 4) 8 s e n^2 t d t - int_0^(pi // 4) 4 c o s t d t = [ 4 t - 2 s e n 2 t - 4 s e n t ]_0^(pi // 4) = pi - 2 ( 1 + sqrt(2) )

Passo 4

Obs.: Devemos lembrar que, pela identidade trigonométrica, que pode ser encontrado no livro após a página 540 , s e n^2 t = (1 - c o s 2 t)/(2) . Dessa forma a integral de int s e n^2 t d t = int (1 - c o s 2 t)/(2)

Resposta

int_0^(pi // 4) (4 s e n^2 t - 2 c o s t) 2 d t = pi - 2 ( 1 + sqrt(2) )

Exercícios de Livros Relacionados

2. Prove que F → . n → for constante sobre Im γ, então o fluxo deF → . n → através de γ é o produto de F → . n → pelo comprimento de γ, onde n → é normal a γ
Calcule ∫ γ F → . n → d s sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário ) F → x , y = xi →+ yj →, γ t = t ,t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 n → a normal com componente y0
Dentre todas as regiões retangulares 0 ≤ x ≤ a ,0 ≤ y ≤ b , encontre aquela para a qual o fluxo exterior total de F = x 2 + 4 x y i - 6 y j atraves dos quatro lados é minimo. Qual é o fluxo minimo?
O que são escoamento, circulação e fluxo?
Integre f (x , y , z) = sqrt(x^2 + y^2) sobre a curva involuta r (t) = (cos t + t sen t) i + (sen t - t cos t) j , 0 = t = sqrt(3)