Encontre uma equação polar para a curva representada pela equação cartesiana dada.

x = -y²

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa? A questão pede para converter uma equação cartesiana em uma equação polar. Isso nos permite expressar a curva em um sistema de coordenadas diferente. Como podemos resolver?

Se liga nos passos.

  1. Começar identificando as coordenadas presentes na equação cartesiana
  2. Converter para coordenadas polares
  3. x = r ∙ cos ⁡ θ

    y = r ∙ s e n   θ

  4. Substituindo obtemos uma equação polar.

Passo 2

Primeiramente, o que é uma equação polar?

É uma forma de representar curvas em um sistema de coordenadas polares, onde cada ponto é determinado por um par ( r , θ ) . Onde r é a distância do ponto à origem (ou polo) e θ   é o ângulo medido a partir do eixo polar (semelhante ao eixo x nas coordendas cartesianas).

A curva polar pode ser encontrada através das seguintes relações.

x = r ⋅ c o s   θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Passo 3

Substituindo na equação dada temos:

x = - y ²

r ⋅ cos ⁡ θ = - r ⋅ sen ⁡ θ 2

Distribuido o quadrado na multiplicação dentro do parênteses

r ⋅ cos ⁡ θ = - r ² ⋅ sen ² ⁡ θ

Passo 4

Agora manipulando, vamos dividir ambos os lados por r

cos ⁡ θ = - r ⋅ sen ² ⁡ θ

Só falta isolar o r , para isso vamos inverter os lados

- r ⋅ sen ² ⁡ θ = cos ⁡ θ

Multiplicando a equação por ( - 1 )

r ⋅ sen ² ⁡ θ = - cos ⁡ θ

Por fim, dividindo a equação por sen ² ⁡ θ chegaremos a resposta

r ⋅ sen 2 ⁡ θ sen ² ⁡ θ = - cos ⁡ θ sen ² ⁡ θ

A equação polar é

r = - cos ⁡ θ sen ² ⁡ θ

Resposta

r = - cos ⁡ θ sen ² ⁡ θ

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