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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 41

Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

∑ n = 1 ∞ x n 3 n  

Passo 1

Este é um caso de uma quase série geométrica, para que seja geométrica tem que estar na forma

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Para isso basta que manipulemos um pouco. O interessante é que para essas séries nós sabemos que elas só convergem para r < 1 e que se convergir, sua soma é

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Pronto, já temos tudo que precisamos pra resolver a questão.

Passo 2

∑ n = 1 ∞ x n 3 n = ∑ n = 1 ∞ x 3 n

Primeiramente para que esta seja uma série geométrica, vamos tirar um termo do parênteses para diminuirmos 1 do expoente.

∑ n = 1 ∞ x 3 x 3 n - 1

Agora temos uma série geométrica.

Passo 3

Sabemos que para uma série geométrica convergir, r < 1 e para este caso r = x / 3 , logo

x 3 < 1

Podemos tirar o 3 do módulo

x 3 < 1

x < 3

Portanto a série converge para valores de x que obedeçam x < 3 .

Passo 4

Então, para esses valores de r a soma vale

∑ n = 1 ∞ x 3 x 3 n - 1 = x / 3 1 - x / 3 = x / 3 ( 3 - x ) / 3

∑ n = 1 ∞ x 3 x 3 n - 1 = x 3 - x

Resposta

x < 3

∑ n = 1 ∞ x n 3 n = x 3 - x

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