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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 5

Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.

5 . r 2 = 4 s e n 2 θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como a curva é simétrica com relação à origem, tomamos os limites de θ de 0 até π 4 , o que determina a área da região limitada pela curva abaixo da reta que determina a origem. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2. Como são duas regiões deste tipo, para obter a área da curva toda devemos multiplicar por 2 novamente.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 2 . 2 . ( 1 2 ∫ 0 π 4 4 s e n 2 θ d θ ) = 2 . ∫ 0 π 4 4 s e n 2 θ d θ =

8   . ∫ 0 π 4 s e n 2 θ d θ = 8 . 1 2 - c o s 2 θ 0 π 4 = 4 - 0 - - 1 = 4

Resposta

A = 4

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