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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 58

Encontre uma equação da reta tangente à curva y = x 4 + 1 que é paralelo à linha 32 x - y = 15 .

Passo 1

Bom galera, o problema quer a equação de uma linha tangente á curva da função:

y = x 4 + 1

Que seja paralelo à linha:

32 x - y = 15

Para que duas retas sejam paralelas elas devem ter o mesmo coeficiente angular m . Vamos ver qual é o coeficiente angular da linha acima:

y = 32 x - 15

Temos então: m = 32

Beleza, o que que a gente precisa fazer?!

Vamos derivar y = x 4 + 1 e procurar por valores de x para que y ' = 34 , beleza?!

Passo 2

Vamos derivar:

y = x 4 + 1

Usando a regra da potência:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

y ' = 4 x 3

Vamos igualar a m = 32 :

y ' = 4 x 3 = 32

x 3 = 8

x = 2

Agora precisamos encontrar o valor y para achar o ponto que essa reta tangente passa pela curva.

Passo 3

Show de bola, a gente encontra o ponto da curva, usando x = 2 na função da curva:

y = 2 4 + 1 = 17

Assim temos que o ponto é:

2,17

Temos o coeficiente angular e um ponto da reta, então já podemos achar a equação da reta fazendo:

y - y 0 = m x - x 0

Substituindo e calculando:

y - 17 = 32 x - 2

y = 32 x - 64 + 17

y = 32 x - 47

Prontinho! Temos:

y = 32 x - 47

Resposta

y = 32 x - 47

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