Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 59
Encontre uma equação da reta tangente à curva que é paralelo à linha .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente à curva , de forma que essa reta tangente seja paralela à linha .
Bom, se essas retas são paralelas, significa que elas possuem o mesmo coeficiente angular, certo? Assim, sabendo que a equação de uma linha é dada de forma genérica por , onde é o seu coeficiente angular, vamos obter o valor de da nossa linha, comparando com a forma geral.
Com isso, teremos o coeficente angular da nossa reta tangente, que será numericamente igual a derivada de . Então, igualando o valor de com a derivada da função, vamos encontrar pontos de tangência em . Substituindo na função, teremos seus correspondentes em .
Por fim, basta a gente substituir os resultados encontrados na equação da reta:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar encontrando o coeficiente angular da linha:
Isolando :
Assim, comparando com , temos que nosso coeficiente angular é:
E esse é o mesmo coeficiente angular da nossa reta tangente, que é numericamente igual a derivada da função , lembra?
Passo 3
Derivando , vamos obter:
Então, vamos igualar ao que já encontramos:
Resolvendo essa equação do grau, encontramos as raízes:
e
Esses são nossos pontos de tangência.
Passo 4
Agora falta encontrar os correspondentes em , então vamos substituir na função:
E
Assim temos dois pontos: e . Mas a gente só quer uma reta tangente, então vamos escolher . Assim, usando o coeficiente angular , teremos a equação da reta:
Resolvendo e isolando , temos:
Valeu, galera! Atéa a próxima! 😉