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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 3

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

x = t 4 + 1 ,                     y = t 3 + t ;               t = - 1

Passo 1

Fala ai pessoal! De boa?

O objetivo desta questão é encontrar a equação da reta tangente a uma curva parametrizada x = t 4 + 1 ,     y = t 3 + t , quando t = 1 .

Para encontrar a reta tangente à curva parametrizada devemos seguir os seguintes passos:

  1. Determinar as coordenadas do ponto na curva correspondente ao valor de t . Temos que substituir t = - 1 nas equações paramétricas para encontrar as coordendas ( x , y ) .
  2. Calcular as derivadas paramétricas d x d t e d y d t .
  3. Avaliar as derivadas no ponto t = - 1 .
  4. Encontrar a inclinação da tangente m = d y d x no ponto t = - 1 .
  5. Determinar as equações da reta tangente

y - y 0 = m x - x 0

Onde m é a inclinação da reta e ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do pornô na curva.

É isso! Vamos começar a resolver galerinha!

Passo 2

O exercício quer que você encontre a equação da reta tangente à curva parametrizada dada. Para isso, precisamos achar o ponto ( x 0 , y 0 ) de tangência e a inclinação da reta, dada pela derivada da curva nesse ponto!

Para achar x 0 e y 0 , basta trocar t = - 1 nas equações:

x 0 = - 1 4 + 1 = 2

y 0 = - 1 3 + - 1 = - 2

Passo 3

Para achar a inclinação, temos que derivar a curva:

Para d x

d x d t = d d t t 4 + 1

d x d t = 4 t 3

Para d y

d y d t = d d t t 3 + t

d y d t = 3 t 2 + 1  

Passo 4

Encontrando a inclinação da reta tangente m .

m = d y d x

m = d y d t d x d t

m = 3 t 2 + 1 4 t 3

Substituindo t = - 1 , achamos o coeficiente angular da reta tangente:

m = 3 + 1 - 4 = - 1

Passo 5

Sabemos que a equação da reta tangente é:

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Assim,

y + 2 = - 1   ( x - 2 )

Portanto,

y = - x

Resposta

y = - x

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