Exercícios de Reta Tangente e Normal a Curva - Lista de Exercícios Resolvida

Encontre a equação paramétrica da reta normal à curva

no ponto .

O movimento de uma partícula no intervalo de tempo é descrito pela curva parametrizada .

a) Encontre a equação paramétrica da reta tangente a curva no instante .

b) Suponha que no instante a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a posição da partícula no instante .

Considere as duas superfícies dadas por e .

1. Esboce, separadamente, as duas superfícies, mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados.

2. Parametrize a curva obtida pela interseção das 2 superfícies.

3. Calcule a reta tangente a no ponto .

4. Existe algum ponto de no qual a reta tangente passe na origem? Justifique.

Considere a curva parametrizada por , onde é uma constante. Para que valor de a reta tangente a no ponto passa pelo ponto ?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Determine a reta normal da curva

no ponto correspondente a

Encontre a equação da reta tangente à trajetória dada, no ponto dado:

Determinar as equações paramétricas da reta tangente à elipse:

no ponto:

Seja uma partícula cuja posição no espaço ao longo do tempo é descrita pela função vetorial , com .

Encontre a reta tangente à curva descrita pela partícula no ponto .

Sejam e as superfícies

a) Encontre uma parametrização para a curva dada pela interseção de e .

b) Determine a equação da reta tangente à curva do passo anterior, no ponto .

Seja a curva dada por . Sabendo que a imagem de está contida na superfície de equação , determine e encontre uma equação para a reta tangente a em

O movimento de uma partícula de massa unitária no intervalo de tempo é descrito pela curva parametrizada

1. Ache a equação paramétrica (ou vetorial) da reta tangente à curva no instante .
2. Suponha que no instante a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a distância total percorrida pela partícula do instante até o instante .

Considere a curva , , e o triângulo delimitado pelas retas tangentes a nos pontos . A área deste triângulo é:

Escolha uma opção:

11

33/4

99/2

11/2

99/4

Seja o paraboloide elíptico . Determine a equação do plano tangente e a equação paramétrica da reta normal ao paraboloide no ponto

Considere a superfície de equação . Seja a curva interseção de com o plano e a reta tangente a no ponto . Marque a opção que identifica a superfície , a curva e dá uma parametrização de , nessa ordem:

1. Paraboloide circular, parábola e
2. Elipsoide, elipse e
3. Elipsoide, elipse e
4. Paraboloide circular, circunferência e
5. Paraboloide elíptico, elipse e

Uma parametrização da reta tangente à curva espacial definida por

No ponto é:

5. Não existe reta tangente passando por .

Sejam e e duas funções vetoriais. Considere a curva definida por

1. Encontre a função vetorial . Ou seja, calcule o produto vetorial acima.
2. Encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva no ponto .
3. Calcule a curvatura de mesmo ponto .

Considere a curva definida pela função vetorial

onde .

Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva no ponto .

Qual o ponto da curva , parametrizada por

No qual a reta tangente a contém o ponto ?

A imagem da curva está contida na interseção das superfícies

Se e , a reta tante a em é dada pela equação

Seja a curva parametrizada por . Determine os valores de tais que a reta tangente à no ponto intercepta o eixo .

a)

b)

c)

d)

e)

Considere

Exiba a equação paramétrica da reta tangente em .

Considere as duas superfícies dadas por e .

2. Parametrize a curva obtida pela interseção das 2 superfícies.

3. Calcule a reta tangente a no ponto .

4. Existe algum ponto de no qual a reta tangente passe na origem? Justifique.

Considere a superfície dada por

1. Enconte uma equação do plano tangente a no ponto .
2. Encontre uma equação da reta normal à superfície no ponto .

Considere a curva parametrizada por: . A reta tangente a no ponto corta o eixo no ponto:

a)

b)

c)

d)

e)

f) Nenhuma das alternativas

O movimento de uma partícula no intervalo de tempo é descrito pela curva parametrizada .

a) Encontre a equação paramétrica da reta tangente a curva no instante .

b) Suponha que no instante a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a posição da partícula no instante .

Seja a curva dada pela interseção dos gráficos das funções

1. Determine uma parametrização para .
2. Determine, caso existam, todos os pontos de nos quais a reta tangente é paralela ao eixo . Escreva a equação da reta tangente em tais pontos.

1) Determinar as retas normais da curva

que passam pela origem

Considere a curva parametrizada pelas equações e , possui um ponto de auto-inserção que está na reta . Qual é este ponto e quais são as equações das retas tangentes a em tal ponto?

a)

b)

c)

d)

e) Nenhuma das alternativas

Considere

Considere a curva plana parametrizada , obtida pela projeção de no plano .

1. Encontre uma curva de nível (no plano ) dada por tal que o traço de está contido em . Explicite .
2. Escreva o vetor normal a no ponto e exiba a equação cartesiana da reta tangente à em .

(Capítulo 13.2 – Exercício 4)

(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.

(b) Encontre r’(t)

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

(Capítulo 13.2 – Exercício 5)

(a) Esboce o gráfico da curva plana com equação vetorial dada.

(b) Determine r’(t).

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

(Capítulo 13.2 – Exercício 10)

Determine a derivada da função vetorial

(Capítulo 13.2 – Exercício 17)

Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.

(Capítulo 13.2 – Exercício 2)

(a) Faça um esboço grande da curva descrita pela função vetorial , e desenhe os vetores e .

(b) Desenhe o vetor começando em (1, 1) e compare com o vetor

Explique porque esses vetores estão tão próximos um do outro tanto em módulo quanto em direção e sentido.

(Cap. 13.2 - Ex. 29)Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.

(Cap. 13.2 - Ex. 34) Em que ponto as curvas e se cruzam? Determine o ângulo de intersecção destas, com precisão de um grau.

(Cap. 13.2 - Ex. 32) (a) Determine o ponto de intersecção das retas tangentes à curva

nos pontos e .

(b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.

Encontre a equação da reta tangente da curva parametrizada por e no ponto . Faça a questão de duas maneiras: eliminando o parâmetro e sem eliminá-lo.

Seja a curva fechada dada pela interseção das superfícies de equações cartesianas e (Fig. 1).

Determine os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal (paralela ao plano ).

Considere a curva parametrizada por

(logarítimo na base ).

O ponto pertence a reta tangente a curva no ponto . Assinale o valor de :

Considere a curva com e a função . Suponha que e que para todo . Determine:

A equação da reta tangente a em .

Determine a equação na forma do plano tangente ao gráfico de no ponto .

Calcule um valor aproximado para .

6. Determine as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto .

12. (1EE-2019.2) Considere a função

(a) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .

9. Mostre que as circunferências e são tangentes no ponto .

11. (1EE-2019.2) Considere a curva dada por .

(b) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto

12. (1EE-2019.2) Considere a função

(b) Existe uma outra reta s tangente ao gráfico de e que é paralela à reta do item anterior. Determine o ponto de tangência desta reta com o gráfico de

4. Verifique se a curva parametrizada é regular no ponto . Se for, determine a equação da reta tangente a tal curva no ponto . Verifique também se a curva tem reta normal no ponto e determine a sua equação. Faça um esboço:

(a) , .

4. Verifique se a curva parametrizada é regular no ponto . Se for, determine a equação da reta tangente a tal curva no ponto . Verifique também se a curva tem reta normal no ponto e determine a sua equação. Faça um esboço:

(b) ,

5. Considere a curva parametrizada , . Verifique se tal curva admite reta tangente paralela ao vetor . Se sim, em qual(quais) ponto(s) da curva isso ocorre?

Considere a curva parametrizada por , onde é uma constante. Para que valor de a reta tangente a no ponto passa pelo ponto ?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Considere a curva definida pela função vetorial

onde .

Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva no ponto .

2.2. Ache os pontos do hiperboloide nos quais a reta normal é paralela à reta que une os pontos e .

Considere a curva , , e o triângulo delimitado pelas retas tangentes a nos pontos . A área deste triângulo é:

Escolha uma opção:

11

33/4

99/2

11/2

99/4

Considere a esfera e a parte de cone com . Seja a curva dada pela intersecção destas superfícies.

1. Determine uma parametrização para a curva , explicitando seu domínio.
2. Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto .
3. Determine os pontos sobre a curva mais distantes da origem.

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva definida pela interseção das superfícies e no ponto de coordenadas .

Considere a curva parametrizada espacial

Calcule e a equação paramétrica da reta tangente ao traço de em .