Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 6b

Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k

Passo 1

Iai pessoal, beleza?

Esse exercício quer que a gente encontre o divergente do campo vetorial:

F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k

Calma, não se assuste que vamos resolver essa questão rapidinho!

Antes de ver como iremos fazer essa questão vamos definir quem é o divergente . Podemos dizer que ele é o produto interno de um operador gradiente uma função:

d i v   F = �� ⋅ F

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Agora vamos ao passo a passo. A primeira coisa que temos que identificar é quem são P , Q   e   R . Vamos lembrar que:

F = P i + Q j + R k

Depois de identificarmos quem é quem podemos fazer as derivadas parciais do jeito que está na fórmula do divergente.

No final é só substituir na fórmula e pronto !!

Passo 2

Vamos identificar então quem são P , Q   e   R .Sabemos que a nossa função é:

F x , y , z = x x 2 + y 2 + z 2 i + y x 2 + y 2 + z 2 j + z x 2 + y 2 + z 2 k

Sabendo que F = P i + Q j + R k .Podemos afirmar que:

P = x x 2 + y 2 + z 2

Q = y x 2 + y 2 + z 2

R = z x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Agora vamos achar as derivadas do jeito que está na fórmula:

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Uma observação, para esse tipo de função vamos utilizar a regrinha de derivada que diz que:

Se y = u v , logo sua derivada será y ' = u ' . v - v ' . u v 2

Sendo assim:

∂ P ∂ x = 1 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 - x ⋅ 2 x x 2 + y 2 + z 2 2 = - x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∂ Q ∂ y = 1 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 - y ⋅ 2 y x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 - y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∂ R ∂ z = 1 ⋅ x 2 + y 2 + z 2 - z ⋅ 2 z x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

Logo, vamos substituir os valores da fórmula:

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

O divergente da fun��ão é:

d i v   F = - x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2 + x 2 - y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 2 + x 2 + y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 2

d i v   F = 1 x 2 + y 2 + z 2

Resposta

d i v   F = 1 x 2 + y 2 + z 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força F → para mover uma partícula do ponto ( 1,2 ) para o ponto de ( 5 , - 3 ) ao longo de uma curva
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo. x , y0y3
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo. x , y1x2
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral. ∫ C t gy ⋅ d x + x ⋅ sec 2 ⁡ y ⋅ d y , C é qualquer caminho de 1,0a2 , π 4
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.