Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.9 - Ex. 41
Prove que nos pontos de intersecção das cardioides e suas retas tangentes são perpendiculares para todos os valores de e .
Passo 1
Para provarmos que as retas tangentes são perpendiculares para todos os valores de e , o que devemos fazer é encontrar essas retas tangentes ou, no nosso caso, as derivadas das funções e ver se o produto entre elas resulta em , que é a condição de perpendicularidade. Segundo a seção 10.9 do Leithold, para descobrirmos as retas tangentes das funções polares, precisamos utilizar a seguinte relação:
Para facilitar, vamos chamar de a função e de a função , beleza? Bora lá!
Passo 2
Para , teremos:
Para , teremos:
Por fim, multiplicando essas derivadas, teremos:
C.Q.D.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Mostre, por referência a uma figura, que o ângulo β entre as tangentes a duas curvas em um ponto de intersecção pode ser encontrado a partir da fórmula: t gβ = t gψ 2 - t gψ 1 1 + t g ψ 2t gψ 1 Quando
Encontre o ângulo no qual a cardioide r = a(1 - cos θ ) cruza o raio θ = π /2.
Encontre a centroide da região delimitada pelo eixo x e o arco da cicloide x = a t - s e nt ,y = a 1 - cos t ,0 ≤ t ≤ 2 π
Encontre o ângulo entre o raio vetor da curva r = 2a sen 3 θ e sua tangente quando θ = π / 6 .
Desenhe a espiral hiperbólica r θ = 1. O que parece acontecer a ψ conforme a espiral gira ao redor da origem?Confirme seu achado no item (a) analiticamente.