Prove que nos pontos de intersecção das cardioides e suas retas tangentes são perpendiculares para todos os valores de e .
Passo 1
Para provarmos que as retas tangentes são perpendiculares para todos os valores de e , o que devemos fazer é encontrar essas retas tangentes ou, no nosso caso, as derivadas das funções e ver se o produto entre elas resulta em , que é a condição de perpendicularidade. Segundo a seção 10.9 do Leithold, para descobrirmos as retas tangentes das funções polares, precisamos utilizar a seguinte relação:
Para facilitar, vamos chamar de a função e de a função , beleza? Bora lá!
Passo 2
Para , teremos:
Para , teremos:
Por fim, multiplicando essas derivadas, teremos:
C.Q.D.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)