Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 13
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo, determine uma função tal que .
Passo 1
Fala ai pessoal se queremos checar se um campo é conservativo ou não, nosso primeiro passo é checar o domínio da nossa função. Se for definida em todo o , ela pode ser conservativa.
Show, depois, temos que observar as derivadas de segunda ordem se forem contínuas. Para isto, podemos checar quais são as nossas funções. Pelo formato dela temos como saber se as derivadas são contínuas sem antes mesmo calcularmos as funções (funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas, por exemplo).
Por fim, precisamos calcular o rotacional da nossa função e verificar se é igual a 0. Caso isso ocorra, o campo vetorial é conservativo.
Caso o campo seja conservativo, para obtermos as funções tais que , temos que comparar cada uma das coordenadas dos dois vetores, e assim sair integrando a nossa função.
Vamos começar então galera !!
Passo 2
Sabemos que a nossa função é definida em todo o e possui derivadas de segunda ordem contínuas. Então, precisamos calcular o rotacional da nossa função.
Sabendo que , então
Beleza, vamos calcular cada um dos termos deste rotacional. Logo,para
Já para o termo que acompanha , temos:
Por fim, o termo que acompanha é:
Logo, o rotacional é:
Perfeito pessoal, então achamos que nosso campo é conservativo !!
Passo 3
Agora, para obtermos esta função , temos que comparar cada um dos termos de com as derivadas parciais de . Isto é:
Agora, vamos pegar a nossa primeira equação e integrar em relação a . Com isto, obtemos que:
Precisamos descobrir quem é essa agora. Para isto, vamos ter de usar as outras duas equações do nosso sistema inicial. E para podermos utilizar essas equações, vamos ter de obter as derivadas parciais da função . Fazendo primeiramente para , temos:
Como , temos então que , isto é, é apenas uma função de . Agora, precisamos descobrir quem é esse . Derivando em relação a , temos:
Portanto, , onde é uma constante qualquer pertencente aos reais. Portanto, a nossa função é:
Resposta
O campo vetorial é conservativo.