Nos Exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados.

32. r = - 4 s e n   θ r = 4 cos ⁡ 2 θ ; a   o r i g e m

Passo 1

Então galera, o que devemos fazer é determinar χ para cada uma das curvas. Mas po, o que seria esse termo aí? Esse termo é exatamente o ângulo entre a curva e a reta tangente no ponto! Esse termo pode ser descoberto utilizando-se da seguinte relação:

t g   χ = r d r d θ

Depois disso, basta fazermos:

β = χ 1 -   χ 2

Esse   β é exatamente o ângulo que estamos procurando! Agora que já sabemos o que temos que determinar, mãos a obra galera!

Passo 2

Para a origem, temos:

r = - 4 s e n   θ

s e n   θ = 0

∴ θ = 0

r = 4 cos ⁡ 2 θ

cos ⁡ 2 θ = 0

∴ θ = π 4

Como θ = 0 não pode ocorrer, uma vez que a derivada de uma das funções é zero nesse ponto, então teremos que utilizar π 4 , ok? Sendo assim, para o ponto 0 ,   π 4 , temos:

r = - 4 s e n π 4 = - 2 2

d r d θ = - 4 cos ⁡ θ = - 2 2

t g   χ 1 = - 2 2 - 2 2 = 1

∴ χ 1 = 45 °

r = 4 cos ⁡ 2 π 4 = 0

d r d θ = - 8 s e n   2 θ = - 8

t g   χ 2 = 0

∴ χ 2 = 0

Por fim, achando β :

β = 45 °

E esse é o menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas pelo enunciado.

Resposta

β = 45 °

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