Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 10
Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. Então, plote a curva e a(s) tangente(s).
Passo 1
Olá, meu amigo. Vou te ajudar a entender e a resolver essa atividade.
A gente tem a curva parametrizada:
E queremos descobrir uma ou mais equações da reta tangente a está curva, no ponto:
A equação da reta tangente a uma curva é dada por:
Onde é o ponto da tangencia, e é a inclinação da reta tangente, também chamado de coeficiente angular da reta e comumente denotado por , que é dada pela derivada da curva no ponto .
Então é isso que iremos fazer aqui, iremos derivar, substituir os pontos e montarmos nossa reta.
Passo 2
Para achar a inclinação, temos que derivar a curva:
Sabemos que para derivar , deveremos aplicar a regra da cadeia, já que temos uma função composta:
E para
Substituindo:
Como queremos a equação da reta tangente no ponto precisamos realizar a substituição nas equações de e e encontrarmos os valores de para quais temos
Substituindo esse resultado na equação do coeficiente angular:
Agora é hora de montarmos nossa equação.
Passo 3
Sabemos que a equação da reta tangente é
Assim, para
Agora podemos conferir nosso resultado com o gráfico abaixo:
Temos nossa curva de vermelho e a equação da sua reta tangente de azul.