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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 20

14.20. Utilize o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções sejam diferenciáveis.

u = f ( s , t ) , onde s = s ( w , x , y , z ) , t = t ( w , x , y , z )

Passo 1

Vamos lá, o exercício pede para gente usar o grafo da árvore para escrever a Regra da Cadeia das funções, e para fazer isso, primeiro a gente precisa fazer o nosso grafo da árvore.

Repare que no topo da nossa árvore está u , e u se separa em s e t , pois u = f ( s , t ) então começa assim

Mas o exercício diz também que s é uma função de w , x , y , z e t também é uma função de w , x , y , z

Então

Passo 2

Agora a gente tem nossa árvore, fica mais fácil escrever a regra da cadeia, vamos derivar u em relação à w , x , y   e   z .

Começando por ∂ u ∂ w , essa derivada vai ser a mesma coisa que a derivada de u em relação a s multiplicado pela derivada de s em relação a w somado com a derivada de u em relação a t multiplicado pela derivada de s em relação a w .

∂ u ∂ w = ∂ u ∂ s   ∂ s ∂ w + ∂ u ∂ t ∂ t ∂ w    

Como s é função de w explicitamente, assim como t também é, sabemos fazer essas derivadas.

Seguindo a mesma lógica

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ s   ∂ s ∂ x + ∂ u ∂ t ∂ t ∂ x    

∂ u ∂ y = ∂ u ∂ s   ∂ s ∂ y + ∂ u ∂ t ∂ t ∂ y    

E por fim

∂ u ∂ z = ∂ u ∂ s   ∂ s ∂ z + ∂ u ∂ t ∂ t ∂ z    

Reparou que a única diferença entre as equações é uma letra?

Resposta

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ s   ∂ s ∂ x + ∂ u ∂ t ∂ t ∂ x    

∂ u ∂ y = ∂ u ∂ s   ∂ s ∂ y + ∂ u ∂ t ∂ t ∂ y    

∂ u ∂ z = ∂ u ∂ s   ∂ s ∂ z + ∂ u ∂ t ∂ t ∂ z    

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Suponha que f é uma função diferenciável de x e y , e g r , s = f ( 2 r - s , s 2 - 4 r ) . Use a tabela de valores para determinar g r ( 1 ,2 ) e g s ( 1 ,2 ) .
Use um diagrama de árvore para escrever a Regra da Cadeia em cada caso. Assuma que todas as funções são diferenciáveis. u = f x , y onde x = x r , s , t e y = y r , s , t
Use o diagrama em arvore para escrever a regra da cadeia para o caso dado. Assuma que todas as funções são diferenciáveis. w = f x , y , z Onde x = x u , v y = y u , v z = z u , v
17 – 20 Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.19 – w = f r , s , t , onde r = r ( x , y ) , s = s ( x , y )
17 – 20 Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.20 – t = f u , v , w , onde u = u p , q , r , s , v = v ( p ,