Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

x = 2 * t^2 + 1, y = 1/3 * t^3 - t; t = 3

Passo 1

Olá, meu amigo.

O exercício quer que você encontre a equação da reta tangente à curva parametrizada dada.

A curva é a:

x = 2 t 2 + 1

y = 1 3 t 3 - t

E a gente vai encontrar a reta tangente no ponto:

t = 3

Então a equação da reta tangente em um ponto x t ,   y t é dada por:

y - y t = d y d x t x - x t

Em que d y d x t é a inclinação da reta tangente no ponto t . Para a gente, o ponto t é 3 .

Para encontramos essa inclinação, iremos utilizar a relação:

d y d x = d y d t d x d t

Veja que não temos o ponto x t ,   y t , para achar x 0 = x t e y 0 = y t , basta trocar t = 3 nas equações paramétricas.

Passo 2

Para achar x 0 = x t e y 0 = y t , basta trocar t = 3 nas equações:

x = 2 t 2 + 1

y = 1 3 t 3 - t

x 0 = 2 ⋅ 9 + 1

x 3 = 19

y 0 = 1 3 ⋅ 27 - 3

y 3 = 6

Para achar a inclinação, temos que derivar a curva:

d y d x = d y d t d x d t = t 2 - 1 4 t

Substituindo t = 3 , achamos o coeficiente angular da reta tangente no ponto em que precisamos:

d y d x = 9 - 1 12

d y d x = 8 12

d y d x = 2 3

Passo 3

Sabemos que a equação da reta tangente é

y - y t = d y d x t x - x t

Assim,

y - 6 = 2 3   ( x - 19 )

Logo,

3 y - 18 = 2 x - 38

Portanto,

2 x - 3 y - 20 = 0

Resposta

2 x - 3 y - 20 = 0

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