Encontre equações paramétricas e um intervalo de parâmetro para o movimento de uma partícula que começa no ponto (2,0) e traça a metade superior do círculo x^2 + y^2 = 4 quatro vezes.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, notamos que a equação dada é a equação do círculo com centro na origem e raio r = 2 .

Como a partícula se move na parte superior do círculo, desenharemos apenas a parte do círculo que está acima do eixo x .

A equação do círculo é dada por

x 2 + y 2 = a 2

na notação de parâmetro, escrevemos como

x = a cos ⁡ t     ( 1 )

y = a sen ⁡ t     ( 2 )

Ou seja, de acordo com a identidade trigonométrica pitagórica a relação entre seno e cosseno é dada pela seguinte expressão:

sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Portanto, a equação de todo o círculo na equação paramétrica usando a notação (1) e (2) é:

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

Passo 2

Sabemos que a partícula começa no ponto ( 2,0 ) . É quando o ângulo é igual a 0 (o parâmetro t é t = 0 ). Como a partícula se move apenas na parte do círculo acima do eixo x, o ângulo t assume valores de 0 a π . Devido ao período das funções seno e cosseno, t assume valores

0 + 2 k π ,   π + 2 k π ,     k ∈ Z

Pelas condições da tarefa, sabemos que a partícula se move 4 vezes ao longo da parte superior do círculo, portanto, t assume os valores:

t ∈ 0 , π ∪ 2 π , 3 π ∪ 4 π , 5 π ∪ [ 6 π , 7 π ]

O círculo está acima do eixo x, então y é sempre positivo. Para que o ângulo t sempre retorne um valor de seno positivo, escreveremos y como um valor absoluto:

y = 2 sen ⁡ t

Por causa do valor absoluto, quando t assume valores de π a 2π, todos os valores no círculo abaixo do eixo x serão mapeados para valores acima do eixo x.

Em outras palavras, quando t assume valores de π a 2π, devido ao valor absoluto, a partícula se move na parte do círculo acima do eixo x de modo que ela se mova no sentido horário (do ponto (−2,0) a (2,0)).

Resposta

x = 2 cos ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t ,     t ∈ [ 0,4 π ]

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