Exercícios de Introdução às Curvas e Domínio de Curvas - Lista de Exercícios Resolvida

Determine o domínio

Um projétil é lançado de uma altura com uma velocidade , como ilustrado pela figura a seguir:

Sabendo que esse projétil está submetido à aceleração da gravidade (, a sua trajetória pode ser parametrizada da seguinte maneira:

Para a função com fórmula

a) Determine o domínio máximo dessa função.

b) Esboce as curvas de nível , e para essa função no mesmo plano.

c) Existe um ponto (a,b) no qual essas 3 curvas de nível parece se encontrar. Encontre esse ponto e explique como é possível.

Determine o domínio e resolve a seguinte equação em :

Determine o domínio e resolva a seguinte equação em :

Determine o domínio e resolva a seguinte equação em :

Determine o domínio e resolva a seguinte equação em :

Determine o domínio e resolva a seguinte equação em :

Determine o domínio em e o conjunto-solução da inequação:

Determine o domínio em e o conjunto-solução da inequação:

Determine o domínio em e o conjunto-solução da inequação:

4. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

a)

4. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

c)

5. Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio.

a) Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado

4. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

e)

4. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

f)

5. Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio.

b) Uma caixa retangular aberta com volume de tem uma base quadrada. Expresse a área da superfície da caixa como uma função do comprimento de um lado da base.

4. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

d)

1. Seja a função , determine:

1. O domínio da função e suas raízes:

Seja a função, e o conjunto

Resolva as questões,

Seja a função, e o conjunto

Resolva as questões,

a seguir trace um esboço mostrando como um sólido sombreado em , o conjunto de pontos do domínio de .

Seja a função, e o conjunto

Resolva as questões,

Seja a função, e o conjunto

Resolva as questões,

Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .

Calcular o limite dado, usando teoremas de limites ou álgebra de limites.

c)

Sejam e . Determine e seu domínio.

4. Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

b)

5. Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio.

c) Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões por . Para isso, devem-se cortar quadrados de lados de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume da caixa como uma função de .

Calcule onde e é a curva de equação , entre os pontos e .

Em cada caso identifique e represente graficamente o domínio da função .

Em cada caso esboce alguma curvas de nível da função , de modo a obter uma visualização do seu gráfico.

Em cada caso identifique e represente graficamente o domínio da função .

Em cada caso identifique e represente graficamente o domínio da função .

Em cada caso identifique e represente graficamente o domínio da função .

Em cada caso identifique e represente graficamente o domínio da função .

Em cada caso identifique e represente graficamente o domínio da função .

(Capítulo 13.1 – Exercício 14) Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

b)

2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

f)

1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

a)

1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

k)

1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

b)

1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

c)

1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

j)

1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

h)

Em cada um dos itens abaixo, determine o domínio da função dada.

1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

g)

2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

d)

2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

g)

2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

c)

2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

h)

Considere a função dada por .

Mostre que .

2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

e)

Considere a função dada por .

Determine e .

Considere as curvas

Dadas as superfícies

É correto afirmar que:

1. A imagem de está contida em e a imagem de está contida em
2. A imagem de está contida em e a imagem de está contida em
3. A imagem de está contida em e a imagem de está contida em
4. A imagem de está contida em e a imagem de está contida em

Ao criar uma função (ou definir uma função, usando o linguajar matemático), devemos especificar o domínio, o contradomínio e a regra de formação (ou regra de associação) da função. Por exemplo, dada por tem domínio , contradomínio e regra de formação . Porém, nem sempre essas três informações fornecem uma função. Por exemplo dada por não é uma função, pois a regra não pode ser aplicada a todos os elementos do domínio. Neste

caso, dizemos que não está bem definida (caso fosse uma função, diríamos que está bem definida).

Em cada um dos itens abaixo, diga quais estão ou não bem definidos.

a) dada por

b) dada por

c) dada por

d) dada por

e) dada por

f) dada por é o número cujo quadrado é .

Normalmente, o caminho para se definir uma função é escolher o domínio, o contradomínio e, por fim, a regra de formação. Porém, em certas situações, a regra de formação é escolhida inicialmente. Nesse caso, fica a pergunta de que escolhas podemos fazer para o domínio e o contradomínio de forma que se obtenha uma função bem definida. Por exemplo, para a regra de formação podemos escolher como domínio e como contradomínio. Obviamente, há infinitas escolhas que funcionam nesse caso. Convencionou-se, nos cursos de Cálculo que, quando uma regra de formação é fornecida (sem domínio e contradomínio), o domínio é o maior subconjunto de de forma que a regra de formação possa ser calculada dentro do conjunto dos números reais e que o resultado também seja um número real. Por exemplo, o maior subconjunto de para o qual a expressão pode ser calculada usando número reais é . Com isso, dizemos que o domínio da função é . Em cada um dos itens abaixo, encontre o domínio das funções, conforme exemplos nos itens (a) e (b).

Observação. Não há uma convenção absoluta para o contradomínio quando este não é especificado. As duas convenções mais usadas são usar ou usar o conjunto imagem como contradomínio.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

Diga quais dos conjuntos abaixo representam uma função com domínio e contradomínio . Nos casos que são funções, determine o conjunto imagem.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

Seja uma função inversível (isto é, que possui inversa) e suponha que e que . Determine e .

Sejam uma função e um intervalo contido no domínio de . Dizemos que é crescente em se para quaisquer e com . Em outras palavras, o valor de aumenta à medida que aumenta. Similarmente dizemos que é decrescente em se para quaisquer e com . Quando dizemos que é crescente (sem mencionar intervalo), significa que é crescente em todo seu domínio (o mesmo se aplica para decrescente). Por exemplo, considere a função cujo gráfico é dado pela figura abaixo.

Note que a função é crescente em , em e em e é decrescente em e em . Nos itens abaixo, diga os intervalos de crescimento e decrescimento das funções.

Faça o gráfico das funções abaixo, encontrando alguns dos pontos pertencentes ao gráfico e tentando deduzir o restante. O objetivo aqui é mostrar que existe uma forma de fazer o gráfico de qualquer função, basta encontrarmos diversos pontos pertencentes ao seu gráfico. Obviamente, esse método é entediante, mas é importante utilizá-lo uma vez na vida. Ao longo desse curso, aprenderemos técnicas para encontrar o gráfico de certas funções sem precisar recorrer ao método desse exercício. Futuramente, em Cálculo , você aprenderá mais técnicas para traçar o gráfico de funções.

a) dada por

b) dada por

c) dada por

d) dada por

Em cada um dos itens abaixo calcule o que se pede.

a) dada por . Calcule .

b) dada por . Calcule .

Diga quais dos gráficos abaixo representam uma função com domínio e contradomínio . Nos casos que são funções, determine o conjunto imagem.

Faça o gráfico das funções abaixo (a partir daqui, você pode usar seus conhecimentos sobre funções para fazer o gráfico):

a)

b)

Sempre que uma função não está bem definida (conforme exercício anterior), podemos fazer certas alterações para a tornar bem definida. Há, basicamente, três formas de fazer isso: (A) restringir o domínio, (B) aumentar o contradomínio ou (C) modificar a regra de formação. Para cada um dos itens do exercício anterior que não estão bem definidos, corrija a definição utilizando um dos três métodos acima, conforma no exemplo do item (a).

Diga quais dos gráficos abaixo representam alguma função. Nos casos que são funções, determine o domínio.

Qual a diferença entre e ?

A função é definida como

Calcule e

Qual é o domínio desta função?

Verifique que esta função é par.

Faça o gráfico. Sugestão. Faça o gráfico de e e utilize a adição de gráficos.

Encontre o domínio das funções abaixo

Seja a função, e o conjunto

Resolva as questões,

Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .

Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .

Determine o domínio e resolva a seguinte equação em :

Determine o domínio e resolve a seguinte equação em :

Determine o domínio e resolva a seguinte equação em :

Determine o domínio em e o conjunto-solução da inequação:

Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo.

a)

b)

c)

d)

Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .

Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .

Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .

Encontre o domínio e a imagem da função e trace um esboço mostrando uma região sombreada em , como um conjunto de pontos no domínio de .

Os gráficos abaixo representam funções. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.

2) Determine o domínio e números críticos da função

1) Determine o domínio e a imagem das funções abaixo

i)

2) Determine o domínio e esboce o gráfico das funções

a)

Seja a função, e o conjunto

Resolva as questões,

Suponha que seja encontrado a partir da fórmula , onde seja determinando que e sejam e com erros máximos possíveis de . Calcule o erro máximo possível no valor computado de .

Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico do domínio da função:

(Capítulo 13.1 – Exercício 7) Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique

com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

(Capítulo 13.1 – Exercício 9) Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.

1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

b)

1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

f)

1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

a)

1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

d)

1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

e)

1.1. Para cada função dada, determine o domínio e faça um esboço dele:

c)

Seja a função definida por