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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 28

Encontre f ' ( x ) pela Fórmula (7) e, então, por derivação logarítmica:

f x = 3 - x

Passo 1

Considerando a função : f x = 3 - x  

Precisamos achar d y d x .

Aplicando na fórmula (7):

d d x b u = b u . ln ⁡ b . d u d x

Considerando :

u = - x

b = 3  

Aplicando na fórmula:

d d x 3 - x = 3 - x . l n ⁡ 3 . d [ - x ] d x = 3 - x . ln ⁡ 3 . ( - 1 )

f ' ( x ) = - 3 - x . ln ⁡ 3

Passo 2

Considerando a derivação por diferenciação logarítmica:

f x = y = 3 - x

Aplicamos logaritmo natural de ambos os lados:

l n ⁡ ( y ) = l n ⁡ ( 3 - x )

Aplicando a propriedade de logaritmo para potências:

ln ⁡ y = - x . l n ⁡ ( 3 )

Diferenciando de ambos os lados:

d dx [ ln ⁡ y ] = d d x [ - x . l n ⁡ 3 ]

Retiramos a constante de dentro da derivada:

d dx [ ln ⁡ y ] = ln ⁡ 3 d d x - x

d y d x . 1 y = ln ⁡ 3 . - 1  

Multiplicar ambo os lados por y :

d y d x = - 3 - x ln ⁡ 3

Resposta

f ' ( x ) = - 3 - x . ln ⁡ 3

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