Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.5 - Ex. 18
Mostre que a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória com a distribuição normal tem pontos de inflexão em .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória com a distribuição normal tem pontos de inflexão em .
A função densidade de probabilidade é dada por:
Mas nós temos uma variável aleatória com distribuição normal, isso significa que a função densidade de probabilidade é um membro de uma família de funções:
Onde é uma média para essa função e é chamado de desvio padrão.
Como a gente quer encontrar os pontos de inflexão, para verificar se eles estão em , então vamos precisar calcular as derivadas dessa função. Assim, analisando o sinal da segunda derivada, vamos encontrar os intervalos de concavidade da função e, consequentemente, seu ponto de inflexão (que é o ponto em que a função muda de concavidade).
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de . Usando a regra da cadeia, temos:
E simplificando:
Agora vamos derivar novamente, para obter a segunda derivada da função:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora vamos analisar o sinal dessa segunda derivada.
Para temos:
E similarmente, para temos:
Portanto, como ocorre essa mudança de concavidade na função, podemos dizer que tem pontos de inflexão em . Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉