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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 1.6 - Ex. 28

Encontre uma fórmula para a função inversa

y = (1 + e^x)/(1 - e^x)

Passo 1

Para encontrarmos a função inversa da função dada no enunciado, vamos seguir os seguintes passos:

Passo 1: escrever y = f (x) .

Passo 2: Resolva essa equação para x em termos de y , ou seja, trocando x por y e y por x (se possível).

Passo 3: a nossa função inversa vai ser dada isolando o nosso novo y .

Passo 2

O passo 1 para esse caso já está feito. Sendo assim, vamos direto para o passo 2:

y = (1 + e^x)/(1 - e^x) -> x = (1 + e^y)/(1 - e^y)

Passo 3

Por fim, vamos isolar esse nosso novo y para encontrarmos a função inversa

x = (1 + e^y)/(1 - e^y) -> x * (1 - e^y) = 1 + e^y

x - x * e^y = 1 + e^y

x - 1 = x * e^y + e^y

x - 1 = e^y * (1 + x)

e^y = (x - 1)/(x + 1) -> y = ln [(x - 1)/(x + 1)]

Cujo domínio é dado por |x| > 1 .

Resposta

y = ln [(x - 1)/(x + 1)]

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