Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 73
Encontre uma função cúbica que tenha um valor máximo local em e um valor mínimo local em 1.
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a função
E temos que determinar , , e de modo que a função tenha um máximo local em e um mínimo local em .
Parece complicado?
Pra resolver esse problema, podemos montar um sisteminha de equações a partir das informações dadas no enunciado.
Sabemos que e ... isso já nos dá duas equações, mas como temos variaveis, precisamos de equações...
As outras duas equações vamos obter a partir de uma informação muito importante dada no enunciado que é um ponto de máximo local e é um ponto de mínimo local.
Ou seja, para que isso seja verdade, as derivadas da função nesses pontos tem que ser iguais a , logo, ... e assim completamos as equações!
Veja só!
Passo 2
Se o ponto é mínimo e o ponto é máximo, temos o sistema:
Vamos calcular a derivada de para obter as equações do sistema...
Se , pelo método de derivação polinomial, temos
Montando as equações do nosso sistema, temos...
Arrumando:
Agora é só resolver e partir pro abraço!
Bora lá!
Passo 3
Se então , assim:
Arrumando:
Dividindo a terceira equação por ...
Se e então, somando as duas equações:
Assim, substituindo nas equações...
Tranquilo até aqui?
Passo 4
Se então , assim, substituindo na segunda equação...
Isolando , vamos obter
E se então se substituirmos em
Lembra da primeira relação que fizemos no passo anterior quando isolamos ? se temos:
Então, se , , e , a função cubica que procuramos é dada por:
É isso! O que achou? Responde Aí!