Enunciado

Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = cos ⁡ θ 3 , θ = π

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = cos ⁡ θ 3

Queremos calcular a reta tangente a essa curva no ponto θ = π .

Para encontrarmos a inclinação da reta tangente, basta usarmos a equação 3 desta seção do livro:

d y d x = d y d θ d x d θ = d r d θ s e n θ + r c o s θ d r d θ c o s θ - r s e n θ

Assim, vamos primeiro encontrar quem é d r d θ para, em seguida, encontrarmos a inclinação da reta tangente!!

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

A derivada de r em relação a θ será:

d r d θ = d cos ⁡ θ 3 d θ

Derivando o cosseno pela regra da cadeia, temos:

d r d θ = - 1 3 s e n θ 3

Passo 3

Substituindo r e sua derivada na equação do passo 1, temos:

d y d x = - 1 3 s e n θ 3 s e n θ + cos ⁡ θ 3 c o s θ - 1 3 s e n θ 3 c o s θ - cos ⁡ θ 3 s e n θ

Para θ = π , teremos:

d y d x = - 1 3 s e n π 3 s e n π + cos ⁡ π 3 cos ⁡ π - 1 3 s e n π 3 cos ⁡ π - cos ⁡ π 3 s e n   π

Sabemos que s e n   π = 0 , portanto:

d y d x = cos ⁡ π 3 cos ⁡ π - 1 3 s e n π 3 cos ⁡ π

Cortando os termos iguais, temos:

d y d x = cos ⁡ π 3 - 1 3 s e n π 3

Resolvendo, temos:

d y d x = 1 2 - 1 3 ∙ 3 2 ∴

d y d x = 1 2 3 6 ∴

d y d x = 6 2 3 ∴

d y d x = 6 3 6 ∴

d y d x = 3

Resposta

d y d x = 3

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