Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 22
Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Hey! Tudo certinho?
O enunciado nos diz que estamos trabalhando com uma progressão geométrica. Você lembra como encontramos a razão de PGs? Basta a gente dividir o segundo termo pelo primeiro! Antes de acharmos, vamos expandir esse somatório para enxergarmos melhor essa série:
Vamos chamar de a razão dessa PG. Assim,
Substituindo os valores, temos:
Passo 2
Essa razão da PG que calculamos vai nos ajudar a entender se a série converge ou diverge!
Para determinar se a série é convergente ou divergente, observamos o valor absoluto de . Uma PG é considerada convergente quando e é divergente quando não satisfaz essa condição.
Como
E
Podemos afirmar que a série é convergente!
Passo 3
Vamos agora calcular a soma dessa série. Para uma séria infinita, temos a seguinte expressão para a soma:
Substituindo os valores, temos:
Portanto,
Resposta
A série é convergente e converge para !