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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 17

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores de máximo e mínimo de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x e x

Passo 1

Falaiii galerinhaa do Responde Ai, bora resolver essa juntinho?

Para analisar a função

f x = x e x

Precisamos encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, os valores de máximo e mínimo, e os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Primeiro, calculamos a derivada primeira f ' ( x )

f x = x e x

f ' x = d d x x e x = e x + x e x = e x ( 1 + x )

Para encontrar os intervalos onde f é crescente ou decrescente, analisamos os sinais de f ' x :

f ' x > 0   q u a n d o   e x 1 + x > 0

f ' x < 0   q u a n d o   e x 1 + x < 0

Sabemos que e x para todo x .

Portanto, a análise depende apenas do sinal de 1 + x :

1 + x > 0   q u a n d o   x > - 1

1 + x < 0   q u a n d o   x < - 1

Então, temos:

f ' x > 0   p a r a   x > - 1   f u n ç ã o   c r e s c e n t e

f ' x < 0   p a r a   x < - 1   ( f u n ç ã o   d e c r e s c e n t e )

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f ' x = 0

e x 1 + x = 0

1 + x = 0 → x = - 1

Para determinar a natureza deste ponto crítico, calculamos a segunda derivada f ' ' x :

f ' ' x = d d x e x 1 + x

= e x 1 + x + e x

= e x 1 + x + 1

= e x ( x + 2 )

- Para x = - 1

f ' ' x - 1 = e - 1 - 1 + 2 = e - 1 1 > 0

Portanto, x = - 1 é um ponto de mínimo local.

Passo 3

Para analisar os intervalos de concavidade, usamos a segunda derivada f ' ' x = e x x + 2 :

- f ' ' x > 0 quando x + 2 > 0   ( x > - 2 ) (função côncava para cima)

- f ' ' x < 0 quando x + 2 < 0   ( x < - 2 ) (função côncava para baixo)

Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos f ' ' x = 0

e x x + 2 = 0

x + 2 = 0

x = - 2

Portanto, x = - 2 é um ponto de inflexão.

Passo 4

Intervalos de crescimento e decrescimento:

- Decrescente em: x < - 1

- Crescente em: x > - 1

Valores de máximo e mínimo:

- Mínimo relativo em x = - 1 , com valor f - 1 = - 1 / e

Intervalos de concavidade e pontos de inflexão:

- Côncavo para cima em: x > - 2

- Côncavo para baixo em: x < - 2

- Ponto de inflexão em: x = - 2

Resposta

a)

Decrescente:

- ∞ , - 1

Crescente:

- 1 ,   ∞

b)

Ponto de mínimo:

- 1 ,   - 1 e

c)

Côncava para cima:

x < - 2

Côncava para baixo:

x > - 2

Pontos de inflexão:

x = - 2

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