Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e a casca típica.

y = 3 + 2x - x^2 , x + y = 3

Passo 1

Inicialmente, vamos encontrar as interseções:

y = 3 + 2 x - x 2 x + y = 3

Logo,

3 + 2 x - x 2 = 3 - x

Assim,

x 2 - 3 x = 0

Então temos o seguinte:

x = 0 ou x = 3

Então vamos aplicar o método das cascas entre os ponto 0 e 3 . Esboçando o gráfico, temos:

Passo 2

Então o volume ficará o seguinte:

V = ∫ 0 3 2 π x f x d x - ∫ 0 3 2 π x g x d x

Como a função de cima é f x = 3 + 2 x - x 2 e a de baixo é g x = 3 - x , temos:

V = ∫ 0 3 2 π x 3 + 2 x - x 2   d x - ∫ 0 3 2 π x 3 - x d x

Logo,

V = 2 π ∫ 0 3 x 3 + 2 x - x 2   - x 3 - x d x

Fazendo a distributiva e simplificando:

V = 2 π ∫ 0 3 - x 3 + 3 x 2 d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Integrando, temos o seguinte:

V = 2 π - x 4 4 + 3 ⋅ x 3 3 0 3

Aplicando entre esses pontos:

V = 2 π - 3 4 4 + 3 3 - - 0 4 4 + 0 3

Agora é só fazer as contas e correr pro abraço!

V = 27 π 2

Resposta

V = 27 π 2

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