Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.3 - Ex. 18
- Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores de máximo e mínimo de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Faaaala meus queridos! Como vão vocês?
Nessa questão, temos a seguinte função:
E queremos encontrar os intervalos em que ela é crescente ou decrescente. Para isso vamos derivar a função e fazer um estudo de sinais da derivada, pois quando a derivada é positiva a função é crescente
E quando a derivada é negativa, a função é decrescente.
Depois disso vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Para isso, vamos encontrar os pontos onde a derivada vale zero.
Esses são pontos críticos da nossa função.
Para verificar se eles são pontos de máximo ou mínimo vamos olhar para o comportamento da derivada ao redor deles.
Se a derivada é positiva antes do ponto crítico e negativa depois do ponto crítico, então esse é um ponto de máximo.
Se a derivada é negativa antes do ponto crítico e positiva depois dele, então esse é um ponto de mínimo.
E por fim vamos olhar para os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.Para isso, vamos encontrar a segunda derivada da nossa função e fazer um estudo de sinais dela.
Quando a segunda derivada é positiva, a concavidade é para cima.
Quando a segunda derivada é negativa, a concavidade é para baixo.
E quando a segunda derivada é zero, temos um ponto de inflexão.
Bora lá?
Passo 2
(a) Para acharmos os intervalos onde nossa função é crescente ou decrescente, vamos ver os pontos onde ou .
Derivando,
Para :
Logo,
Ah, mas é sempre positivo. Então basta garantir que . Logo,
Resolvendo, temos:
ou
Assim, nossa função será crescente no intervalo
Para :
Logo,
Portanto, nossa função será decrescente no intervalo
Passo 3
(b) Para acharmos os pontos de máximo e mínimo, basta fazermos . Então vamos lá!
Logo,
Vamos fatorar para avaliar melhor o que ocorre aí:
Como nunca é zero, então podemos simplificar.
Assim,
ou
Do Passo 2 sabemos que nossa função é crescente até o ponto e a partir desse ponto ela fica decrescente. Isso nos diz que o ponto será um ponto de máximo.
Para :
Fazendo as contas:
Assim, o ponto será um ponto de máximo.
Também do Passo 2, sabemos que de nossa função é decrescente e a partir do ela começa a crescer. Então podemos afirmar que o ponto será um ponto de mínimo.
Portanto, o ponto será um ponto de mínimo.
Passo 4
Para verificarmos a inflexão, vamos fazer o teste da segunda derivada.
Derivando,
Fatorando, para que a gente faça o estudo de sinais com mais facilidade.
Para :
é um termo que sempre é positivo, portanto, o que queremos aqui é que:
Resolver essa inequação de segundo grau pode ser meio chato. Mas o que você vai fazer aqi é basicamente encontrar as raízes da equação usando bhaskara.
Dessa forma a inequação pode ser fatorada como:
é o termo que acompanha o , nesse caso , dessa forma temos:
Para que esse resultado seja positivo, é necessário que ambos os fatores sejam negativos ou positivos. Se for menor que , ambos serão negativos e se for maior que , ambos serão positivos, portanto:
Resolvendo, temos:
ou
Assim, nossa curva terá concavidade para baixo no intervalo acima.
Para :
Assim,
Aqui o deverá estar entre as raízes para que um fator seja positivo e o outro negativo.
Resolvendo,
E nossa curva terá concavidade para cima no intervalo acima. Por último, ele nos pede para achar os pontos de inflexão. Logo,
Assim,
Resolvendo, temos:
Isto é,
ou
Resposta
a)
Decrescente:
Crescente:
b)
Ponto de mínimo:
Ponto de máximo:
c)
Côncava para cima:
Côncava para baixo:
ou
Pontos de inflexão: