Seja f(x) = (x + 1) / (x - 1) Mostre que não existe c tal que f(2) - f(0) = f'(c) * (2 - 0) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x + 1 x - 1

E nosso objetivo é mostrar que não existe um valor x = c que satisfaça

f ( 2 ) - f 0 = f ' c 2 - 0

E tambem temos que dizer por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio (TVM).

Tem ideia de como fazemos isso?

O TVM diz que se temos uma função f que seja contínua e derivável em um intervalo a , b , existe um valor x = c dentro do intervalo a , b tal que

f ' c = f b - f a b - a

Vamos usar a definição desse teorema para responder essa questão!

Bora lá!

Passo 2

A função que ele nos deu foi a seguinte:

f x = x + 1 x - 1

Vamos começar definindo o domínio dessa função, pois ela precisa ser contínua no intervalo 0,2 como vimos na equação f ( 2 ) - f 0 = f ' c 2 - 0 .

Para acharmos o domínio da nossa função, basta garantirmos que o denominador é diferente de zero. Então vamos lá!

x - 1 ≠ 0

Logo,

x ≠ 1

Portanto, nossa função será contínua para todos os valores de x ≠ 1 .

Para usarmos o Teorema do Valor Médio temos que verificar se a função f ( x ) é continua e diferenciável no intervalo 0,2 . Mas repare que o 1 está nesse intervalo.

Dessa forma, nossa função não será contínua nesse intervalo e não podemos aplicar o Teorema do Valor Médio.

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

Como a função não é continua no intervalo 0,2 . Então não podemos usar o Teorema do Valor Médio.

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