45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

Nestes exercícios:

a) use esses limites, se necessário, para obter limites de quando e .

b) Esboce o gráfico de e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

51.

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que ou os pontos em que não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

Como nunca será zero, a única forma disso dar zero é se:

Então esse é o nosso possível ponto de extremo, galera!

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de e vira e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

Simplificando:

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

Como não pode ser zero, a única forma disso acontecer é se:

Utilizando Bhaskara:

Note que aparece uma raíz de um número negativo, não é mesmo? Então podemos concluir que não há pontos de inflexão na nossa função!

O único valor interessante que encontramos foi , então:

Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉