Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 57

O semicírculo com diâmetro está sobre um triangulo isósceles para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se for a área do semicírculo e a área do triângulo, encontre

Passo 1

E ai galerinha, bora resolver essa questãozinha

Mas vamos fazer de um jeito diferente, antes de substituir todos os valores, vamos resolver ela por teoria, e depois vemos na prática como de fato ela ficará, ok?

Para resolver esse problema, primeiro precisamos encontrar as fórmulas para as áreas do semicírculo e do triângulo em termos de θ, e então calcular o limite conforme θ se aproxima de

Dado que o semicírculo tem diâmetro , seu raio é metade do comprimento do segmento , que podemos chamar de ., como mostra a imagem dada no enunciado

Portanto, o raio do semicírculo é .

A área de um semicírculo é dada por:

Substituindo o raio pelo valor encontrado, temos:

Passo 2

Para o triângulo isósceles , como é um triângulo isósceles, podemos dividir o triângulo em dois triângulos retângulos idênticos e calcular a área de um deles.

Seja a altura do triângulo (que é a distância do ponto médio de ao vértice ).

A área do triângulo é dada por:

Para encontrar a base do triângulo, precisamos usar um pouco de trigonometria.

Passo 3

Seja o ângulo entre .

Como o triângulo é isósceles, temos:

Podemos usar o cosseno do ângulo para encontrar a base:

Portanto, a área do triângulo é:

Passo 4

Agora, para calcular o limite precisamos substituir as expressões que encontramos para e e então calcular o limite:

Sabemos que , então:

Portanto, esse é o valor do limite.

Passo 5

Agora vamos aplicar na pratica todo o nosso conhecimento obtido dos passos anteriores, portanto a atividade nos pede para encontrarmos primeiramente a área do triangulo e do semicírculo do nosso ‘sorvete’ e após isso calcular o limite de seu consciente.